Математика. Быкадорова Г.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Определение . Дифференциалом
функции
(
)
xfy =
называется
главное слагаемое (главная часть) приращения функции, линейное
относительно
x
∆
.
Обозначим d – дифференциал, тогда по определению
dxydy
⋅
′
=
,
следовательно,
dx
dy
y =
′
, что читается dy по dx.
В следующих примерах найти дифференциалы функций .
Пример 1.12.
xxy cos
3
=
.
(
)
()
(
)
()
dxxxxxdxxxxxdxxxdy sincos3sincos3cos
2323
−=⋅−+=⋅
′
=
.
Пример 1.13.
x
y
+
−
=
1
1
2
. Преобразовав исходное выражение , получим
(
)
(
)
x
xx
y −=
+
+
−
1
1
11
. Тогда
()
dxdxxdy −=
′
−= 1
.
Задания
1.19. Найти дифференциалы функций .
1.19.1.
n
xy =
. 1.19.2.
xxxy 33
23
+−=
. 1.19.3.
2
1 xy +=
.
1.19.4. t
gt
s 2
2
2
−= . 1.19.5.
x
xxxx
y
+−
=
3
5
. 1.19.6.
x
x
y
1
2
+
= .
1.19.7.
ϕ
ϕ
2sin2
−
=
r . 1.19.8.
(
)
ud cos1 −
. 1.19.9.
(
)
td
2
sin
.
1.19.10.
1
2
423
2
−
−−
=
x
xx
y . 1.19.11.
+
a
x
arctg
x
a
d
. 1.19.12.
(
)
α
α
ln
+
d
.
1.19.13.
(
)
xed
x
2sin
3
⋅
. 1.19.14.
(
)
xxd cos
2
⋅ . 1.19.15.
x
xy 2
3
⋅=
.
1.4. Производные и дифференциалы высших порядков
Производная второго порядка (вторая производная) от функции
(
)
xfy =
есть производная от ее первой производной :
(
)
[
]
′
′
=
′′
xfy
.
Производная n-го порядка (n-я производная) от функции
(
)
xfy =
есть
производная от ее (n-1)-й производной :
()()
(
)
[
]
′
=
−
xfy
nn 1
.
Дифференциал второго порядка – это дифференциал от дифференциала
первого порядка:
22
dxyyd
′′
=
.
Дифференциал n-го порядка – это дифференциал от дифференциала
(n-1)-го порядка:
(
)
nnn
dxyyd =
.
Пример 1.14. Найти третью производную от функции
xxy 2ln
=
в точке
х=2.
Решение . Находим сначала первую производную :
12ln
2
2
2ln +=⋅+=
′
x
x
xxy
. 
                                                    10
Определение.      Дифференциалом функции    y = f (x ) называется
главное слагаемое (главная часть) приращения функции, линейное
относительно ∆x .
    Обозначим d – дифференциал, тогда по определению dy = y ′ ⋅ dx ,
                    dy
следовательно, y ′ = , что читается dy по dx.
                    dx
    В следующих примерах найти дифференциалы функций.
Пример 1.12. y = x cos x .
                  3


                       ′
       dy =(x 3 cos x ) ⋅ dx =(3x 2 cos x +x 3 (−sin x ))⋅ dx =x 2 (3 cos x −x sin x )dx .
                        1 −x 2
Пример 1.13. y =               . Преобразовав исходное выражение, получим
                         1 +x
       (1 −x )(1 +x ) =1 −x                    ′
     y                      . Тогда dy =(1 −x ) dx =−dx .
           1 +x
                              Задания
   1.19. Найти дифференциалы функций.
   1.19.1. y =x .
               n
                                        1.19.2. y =x 3 −3x 2 +3x . 1.19.3. y = 1 +x 2 .
                 gt 2                                     x x −5 x 3 +x               x 2 +1
   1.19.4. s =        −2t .             1.19.5. y =                     . 1.19.6. y =        .
                  2                                            x                         x
   1.19.7. r =2ϕ −sin 2ϕ .              1.19.8. d (1 −cos u ) .          1.19.9. d (sin 2 t ).
                  3 x 2 −2 x −4
                                        1.19.11. d �� +arctg �� . 1.19.12. d (α +ln α ) .
                                                     a      x
   1.19.10. y =                 .
                       2 x −1                            � x       a�
   1.19.13. d (e ⋅ sin 2 x ).
                  3x
                                        1.19.14. d (x 2 ⋅ cos x ).       1.19.15. y =x 3 ⋅ 2 x .

             1.4. Производные и дифференциалы высших порядков
Производная второго порядка (вторая производная) от функции y = f (x )
есть производная от ее первой производной: y ′′ =[ f ′(x )]′ .
Производная n-го порядка (n-я производная) от функции y = f (x ) есть
производная от ее (n-1)-й производной: y (n ) =[ f (n −1) (x )]′ .
Дифференциал второго порядка – это дифференциал от дифференциала
первого порядка: d 2 y = y ′′dx 2 .
Дифференциал n-го порядка – это дифференциал от дифференциала
(n-1)-го порядка: d n y = y (n )dx n .
Пример 1.14. Найти третью производную от функции y =x ln 2 x в точке
   х=2.
   Решение.       Находим              сначала    первую           производную:
                                                 2
                              y ′ =ln 2 x +x ⋅      =ln 2 x +1 .
                                                 2x

Страницы