Математика. Быкадорова Г.В. - 11 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

11
Дифференцируя первую
производную y
, находим вторую
производную :
()
x
x
yy
1
2
2
1
=⋅=
=
′′
. Таким образом , третья производная
()
2
1
x
yy −=
′′
=
′′′
. При х=2 имеем
()
4
1
2
1
2
2
=−=
′′′
y
.
Пример 1.15. Найти дифференциал второго порядка от функции
5
+
=
x
x
y .
Решение .
()()
22
5
5
5
5
+
=
+
+
=
xx
xx
y .
()
()
(
)
()
()
() ()
344
2
2
5
10
5
510
5
55
5
5
+
−=
+
+−
=
+
+−
=
+
=
′′
xx
x
x
x
x
y и
()
2
3
2
5
10
dx
x
yd
+
−= .
Задания
1.20. Найти производные второго порядка от функций .
1.20.1.
3253
23
+−= xxxy
. 1.20.2.
(
)
3
52 += xy . 1.20.3.
xy
2
cos=
.
1.20.4.
xarctgy 3
=
. 1.20.5.
ttx 2sin
. 1.20.6.
xey
x
cos=
.
1.21. Дана функция
(
)
xxf 3sin
=
. Найти
()
′′
′′
2
,0,
2
ππ
fff
.
1.22. Дана функция
(
)
x
xexf =
. Найти
(
)
(
)
(
)
0,1,3 fff
.
1.23. Дана функция
(
)
ϕ
ϕϕ
= er
2
. Найти
(
)
(
)
0,1 rr
.
1.24. Найти дифференциалы второго порядка для функций .
1.24.1.
xxy lnsin
=
. 1.24.2.
x
xy 3cos ⋅=
. 1.24.3.
2
3
+
=
x
x
y
.
1.24.4.
x
exy
3
3
1
2sin
2
1
+=
. 1.24.5.
2
5
45 xy
x
+=
. 1.24.6.
53
3
1
+= xxy
.
1.5. Частные производные. Полный дифференциал
Определение . Производная от функции двух переменных
(
)
(
)
yxfyxz ,,
=
по
х, найденная в предположении, что y остается постоянным, называется
частной производной от z по х и обозначается
x
z
или
(
)
yxf
x
,
. Аналогично
определяется и обозначается частная производная от z по y :
()
yxf
y
z
y
,
=
.
Частные производные от частных производных первого порядка
называются частными производными 2-го порядка:
2
2
x
z
x
x
z
=
;
yx
z
y
x
z
∂∂
=
2
- смешанная производная;
                                                               11
   Дифференцируя                                     первую производную y ′ , находим вторую
   производную: y ′′ =(y ′ )′ =
                                                    1       1
                                                       ⋅ 2 = . Таким образом, третья производная
                                                    2x      x
                  ′  1                              1    1
    y ′′′ =(y ′′ ) =− 2 . При х=2 имеем y ′′′(2 ) =− 2 =− .
                     x                              2    4
                                                                                                         x
Пример 1.15. Найти дифференциал второго порядка от функции y =                                              .
                                                                                                       x +5
                                 x +5 −x   5
   Решение. y ′ =                        =      .
                                 (x +5) (x +5)2
                                       2


                             ′
   y ′′ =��
           �      5      �
                         �       =
                                       (
                                     −5 (x +5)
                                                2
                                                    )′ = −10(x +5) =−   10
                                                                                  и d 2 y =−
                                                                                              10
                                                                                                   dx 2 .
                         �
             � (x +5)                  (x +5)             (x +5)      (x +5)               (x +5)3
                     2                      4                  4              3
                         �
                                Задания
1.20. Найти производные второго порядка от функций.
 1.20.1. y =3x 3 −5 x 2 +2 x −3 . 1.20.2. y =(2 x +5)3 .                            1.20.3. y =cos 2 x .
                                                                                    1.20.6. y =e cos x .
                                                                                                x
 1.20.4. y =arctg 3 x .                               1.20.5. x =t sin 2t .
                                               � π�                  � π�
1.21. Дана функция f (x ) =sin 3x . Найти f ′′� − � , f ′′(0 ), f ′′� � .
                                                � 2�                  � 2�
1.22. Дана функция f (x ) =xe . Найти f ′′′(−3), f ′′′(−1), f ′′′(0).
                             x


1.23. Дана функция r (ϕ ) =ϕ e . Найти r ′′(−1), r ′′(0).
                                                      2   −ϕ


1.24. Найти дифференциалы второго порядка для функций.
                                                                                                   3x
   1.24.1. y =sin x ⋅ ln x .                         1.24.2. y =cos x ⋅ 3 x .       1.24.3. y =        .
                                                                                                  x +2
                                                                              5
              1         1                                                                      1 3  −5
   1.24.4. y = sin 2 x + e 3 x . 1.24.5. y =5 +4 x 2 .                              1.24.6. y = x +x .
                                             x
              2         3                                                                      3

                  1.5. Частные производные. Полный дифференциал
Определение. Производная от функции двух переменных z (x, y ) = f (x, y ) по
х, найденная в предположении, что y остается постоянным, называется
                                            ∂z
частной производной от z по х и обозначается    или f x′ (x, y ). Аналогично
                                            ∂x
                                                               ∂z
определяется и обозначается частная производная от z по y:        = f y′ (x, y ) .
                                                               ∂y
    Частные производные от частных производных первого порядка
называются частными производными 2-го порядка:
               � ∂z �                         � ∂z �
             ∂�       �                     ∂�       �
                � ∂x � =∂ z ;                  � ∂x � = ∂ z - смешанная производная;
                         2                               2


                  ∂x    ∂x 2                     ∂y    ∂x∂y