ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11
Дифференцируя первую
производную y
′
, находим вторую
производную :
()
x
x
yy
1
2
2
1
=⋅=
′
′
=
′′
. Таким образом , третья производная
()
2
1
x
yy −=
′
′′
=
′′′
. При х=2 имеем
()
4
1
2
1
2
2
−=−=
′′′
y
.
Пример 1.15. Найти дифференциал второго порядка от функции
5
+
=
x
x
y .
Решение .
()()
22
5
5
5
5
+
=
+
−
+
=
′
xx
xx
y .
()
()
(
)
()
()
() ()
344
2
2
5
10
5
510
5
55
5
5
+
−=
+
+−
=
+
′
+−
=
′
+
=
′′
xx
x
x
x
x
y и
()
2
3
2
5
10
dx
x
yd
+
−= .
Задания
1.20. Найти производные второго порядка от функций .
1.20.1.
3253
23
−+−= xxxy
. 1.20.2.
(
)
3
52 += xy . 1.20.3.
xy
2
cos=
.
1.20.4.
xarctgy 3
=
. 1.20.5.
ttx 2sin
=
. 1.20.6.
xey
x
cos=
.
1.21. Дана функция
(
)
xxf 3sin
=
. Найти
()
′′′′
−
′′
2
,0,
2
ππ
fff
.
1.22. Дана функция
(
)
x
xexf =
. Найти
(
)
(
)
(
)
0,1,3 fff
′
′
′
−
′
′
′
−
′
′
′
.
1.23. Дана функция
(
)
ϕ
ϕϕ
−
= er
2
. Найти
(
)
(
)
0,1 rr
′
′
−
′
′
.
1.24. Найти дифференциалы второго порядка для функций .
1.24.1.
xxy lnsin
⋅
=
. 1.24.2.
x
xy 3cos ⋅=
. 1.24.3.
2
3
+
=
x
x
y
.
1.24.4.
x
exy
3
3
1
2sin
2
1
+=
. 1.24.5.
2
5
45 xy
x
+=
. 1.24.6.
53
3
1
−
+= xxy
.
1.5. Частные производные. Полный дифференциал
Определение . Производная от функции двух переменных
(
)
(
)
yxfyxz ,,
=
по
х, найденная в предположении, что y остается постоянным, называется
частной производной от z по х и обозначается
x
z
∂
∂
или
(
)
yxf
x
,
′
. Аналогично
определяется и обозначается частная производная от z по y :
()
yxf
y
z
y
,
′
=
∂
∂
.
Частные производные от частных производных первого порядка
называются частными производными 2-го порядка:
2
2
x
z
x
x
z
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
;
yx
z
y
x
z
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
2
- смешанная производная;
11
Дифференцируя первую производную y ′ , находим вторую
производную: y ′′ =(y ′ )′ =
1 1
⋅ 2 = . Таким образом, третья производная
2x x
′ 1 1 1
y ′′′ =(y ′′ ) =− 2 . При х=2 имеем y ′′′(2 ) =− 2 =− .
x 2 4
x
Пример 1.15. Найти дифференциал второго порядка от функции y = .
x +5
x +5 −x 5
Решение. y ′ = = .
(x +5) (x +5)2
2
′
y ′′ =��
� 5 �
� =
(
−5 (x +5)
2
)′ = −10(x +5) =− 10
и d 2 y =−
10
dx 2 .
�
� (x +5) (x +5) (x +5) (x +5) (x +5)3
2 4 4 3
�
Задания
1.20. Найти производные второго порядка от функций.
1.20.1. y =3x 3 −5 x 2 +2 x −3 . 1.20.2. y =(2 x +5)3 . 1.20.3. y =cos 2 x .
1.20.6. y =e cos x .
x
1.20.4. y =arctg 3 x . 1.20.5. x =t sin 2t .
� π� � π�
1.21. Дана функция f (x ) =sin 3x . Найти f ′′� − � , f ′′(0 ), f ′′� � .
� 2� � 2�
1.22. Дана функция f (x ) =xe . Найти f ′′′(−3), f ′′′(−1), f ′′′(0).
x
1.23. Дана функция r (ϕ ) =ϕ e . Найти r ′′(−1), r ′′(0).
2 −ϕ
1.24. Найти дифференциалы второго порядка для функций.
3x
1.24.1. y =sin x ⋅ ln x . 1.24.2. y =cos x ⋅ 3 x . 1.24.3. y = .
x +2
5
1 1 1 3 −5
1.24.4. y = sin 2 x + e 3 x . 1.24.5. y =5 +4 x 2 . 1.24.6. y = x +x .
x
2 3 3
1.5. Частные производные. Полный дифференциал
Определение. Производная от функции двух переменных z (x, y ) = f (x, y ) по
х, найденная в предположении, что y остается постоянным, называется
∂z
частной производной от z по х и обозначается или f x′ (x, y ). Аналогично
∂x
∂z
определяется и обозначается частная производная от z по y: = f y′ (x, y ) .
∂y
Частные производные от частных производных первого порядка
называются частными производными 2-го порядка:
� ∂z � � ∂z �
∂� � ∂� �
� ∂x � =∂ z ; � ∂x � = ∂ z - смешанная производная;
2 2
∂x ∂x 2 ∂y ∂x∂y
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
