Математика. Быкадорова Г.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Решение .
2
1
coscossin
2
1
2
z
xx
y
xy
x
y
x
y
x
x
y
x
x =
⋅
+
−⋅
+
,
2
coscossin
2
z
x
y
x
y
x
y
x
y
x
yx
=+−
⇒
2
2
zz
=
.
1.27.
(
)
yxz += ln . Доказать, что
2
1
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
y
x
z
x .
1.28. Согласно теореме Эйлера, если
),( yxfz
=
- однородная функция n-го
порядка, то
nz
y
z
y
x
z
x =
∂
∂
+
∂
∂
. Проверить эту теорему для функций .
1.28.1.
323
2 yxyxz −+= . 1.28.2.
22
yxyxz ++=
.
1.28.3.
yx
x
z
−
=
3
. 1.28.4.
22
1
yx
z
+
= .
1.29.
222
zyxu ++= . Доказать, что 1
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
y
u
x
u
.
1.30. Найти полные дифференциалы первого порядка для функций .
1.30.1.
yxz
2
=
. 1.30.2.
yx
xy
z
−
=
. 1.30.3.
22
yxz += .
1.31. Вычислить полный дифференциал первого порядка для функции
xy
z
при х=5, y=4, 1,0
=
∆
x , 2,0
−
=
∆
y .
1.32. При деформации цилиндра его радиус R увеличился с 2 до 2,05 см, а
высота H уменьшилась с 10 до 9,8 см. Найти приближенно
изменение объема V.
1.33. При деформации конуса радиус R его основания увеличился с 30 до
30,1 см, а высота H уменьшилась с 60 до 59,5 см. Найти приближенно
изменение объема V.
1.34. Катеты прямоугольного треугольника, измеренные с точностью до
0,1 см, оказались равными 7,5 и 18 см. Определить абсолютную
погрешность при вычислении гипотенузы .
1.35. Найти частные производные второго порядка.
1.35.1.
y
x
z
21
2
−
= . 1.35.2.
2
2
x
y
z = . 1.35.3.
xyu ln
=
.
1.36.
−=
2
cos2
2
t
xz
. Доказать, что 02
2
2
2
=
∂∂
∂
+
∂
∂
t
x
z
t
z
.
1.6. Приложение производных к исследованию функций
Знание особенностей поведения функций (областей
убывания/возрастания, выпуклости/ вогнутости, точек экстремума,
перегибов, асимптот) позволяет иметь полное представление о характере
поведения функции, что дает возможность правильно построить ее график .
I. Элементарное исследование
I.1. Установить область определения функции. 
                                                 13
                        Решение.
                �   1          y         � y� �   y     � �        �              � y� 1�  z
             x��         sin     + x cos� � ⋅ � − 2     � �� +y��           x cos� � ⋅ �� = ,
                � 2 x          x          � x� � x       � �      �                � x� x� 2
                           x    y y   y  y     y z                                    z z
                             sin − cos +    cos = ⇒                                    = .
                          2     x  x  x   x    x 2                                    2 2
1.27. z =ln ( x + y ). Доказать, что x
                                 ∂z    ∂z 1
                                    +y     = .
                                 ∂x    ∂y 2
1.28. Согласно теореме Эйлера, если z = f ( x, y ) - однородная функция n-го
                   ∂z  ∂z
      порядка, то x +y =nz . Проверить эту теорему для функций.
                   ∂x  ∂y
      1.28.1. z =x 3 +xy 2 −2 y 3 .             1.28.2. z = x 2 +xy +y 2 .
                         x3                                              1
      1.28.3. z =            .                  1.28.4. z =                   .
                        x −y                                           x +y 2
                                                                        2

                                                        2               2         2
                                             ∂u �      � ∂u �       � ∂u �
1.29. u = x 2 +y 2 +z 2 . Доказать, что ��        � +��        �� +�        � =1 .
                                           � ∂x �       � ∂y �       � ∂z �
1.30. Найти полные дифференциалы первого порядка для функций.
                                                xy
     1.30.1. z =x 2 y .          1.30.2. z =        .                   1.30.3. z = x 2 +y 2 .
                                               x −y
1.31. Вычислить полный дифференциал первого порядка для функции
      z = xy при х=5, y=4, ∆x =0,1 , ∆y =−0,2 .
1.32. При деформации цилиндра его радиус R увеличился с 2 до 2,05 см, а
      высота H уменьшилась с 10 до 9,8 см. Найти приближенно
      изменение объема V.
1.33. При деформации конуса радиус R его основания увеличился с 30 до
      30,1 см, а высота H уменьшилась с 60 до 59,5 см. Найти приближенно
      изменение объема V.
1.34. Катеты прямоугольного треугольника, измеренные с точностью до
      0,1 см, оказались равными 7,5 и 18 см. Определить абсолютную
      погрешность при вычислении гипотенузы.
1.35. Найти частные производные второго порядка.
                       x2                       y2
     1.35.1. z =            .       1.35.2. z = 2 .                             1.35.3. u = y ln x .
                     1 −2 y                     x
                                            ∂ z ∂2 z
                                              2
1.36. z =2 cos 2 �� x − �� . Доказать, что 2 2 +
                        t
                                                        =0 .
                   �    2�                  ∂t     ∂x∂t
           1.6. Приложение производных к исследованию функций
     Знание     особенностей      поведения     функций      (областей
убывания/возрастания,    выпуклости/вогнутости,   точек   экстремума,
перегибов, асимптот) позволяет иметь полное представление о характере
поведения функции, что дает возможность правильно построить ее график.
                      I. Элементарное исследование
I.1. Установить область определения функции.

Страницы