Математика. Быкадорова Г.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Кривая называется выпуклой , если она целиком лежит
под касательной , проведенной к ней в любой точке интервала
выпуклости (рис.1.2,а).
Кривая называется вогнутой , если она целиком лежит над
касательной , проведенной к ней в любой точке интервала выпуклости
( рис.1.2,б).
Если функция )( xfy
=
дважды дифференцируема, то:
- при 0
<
′
′
y график функции выпуклый в данной диапазоне ;
- при 0
>
′
′
y график функции вогнутый в данной диапазоне .
III.3. Определение критических точек II рода.
Точка х
к
, принадлежащая области определения функции,
называется критической точкой II рода , если в этой точке
выполняется одно из 3 условий : либо
(
)
0
=
′
′
к
xy , либо
(
)
∞
=
′
′
к
xy , либо
(
)
к
xy
′
′
не существует.
Если х
к
- критическая точка II рода и в ее окрестности изменился
знак второй производной , то х
к
- точка перегиба.
IV. Нахождение асимптот графика
IV.1. Вертикальные асимптоты .
Если кривая функции
)( xfy
=
неограниченно приближается к
вертикальной прямой
a
x
=
при
a
x
→
, то эта прямая, параллельная оси
0 y , называется вертикальной асимптотой .
Прямая
a
x
=
является вертикальной асимптотой , если
выполняется одно из трех условий (рис.1.3):
()
()
()
∞=
∞=
∞=
+→
−→
→
.lim
,lim
,lim
0
0
xf
xf
xf
ax
ax
ax
IV.2. Наклонные асимптоты .
Если кривая функции
)( xfy
при
+∞
→
x
(
−∞
→
x
) неограниченно
приближается к некоторой прямой
bkxy
+
=
, то эта прямая
y ( x + Δ x )
dy
Δ y
x+Δx
y(x)
x
x
y
dy
Δ y
x+Δ x
y(x)
x
x
y
y(x+Δ x)
а) б)
Рис. 1. 2. Характер выпуклости кривых:
а) – кривая выпукла; б) – кривая вогнута. 
                                           15
             Кривая      называется выпуклой, если она целиком лежит
     под касательной, проведенной к ней в любой точке интервала
     выпуклости (рис.1.2,а).
            Кривая называется вогнутой, если она целиком лежит над
     касательной, проведенной к ней в любой точке интервала выпуклости
     (рис.1.2,б).
            y                                              y
                                                      y(x+Δx)
      y(x+Δx)                              dy
                                  Δy                                              Δy
          y(x)                                                           dy
                                                        y(x)


                    x         x+Δx x                            x    x+Δx     x

                         а)                                   б)
                         Рис. 1. 2. Характер выпуклости кривых:
                        а) – кривая выпукла; б) – кривая вогнута.
               Если функция y = f (x) дважды дифференцируема, то:
      - при y ′′ <0 график функции выпуклый в данной диапазоне;
      - при y ′′ >0 график функции вогнутый в данной диапазоне.
III.3. Определение критических точек II рода.
             Точка хк, принадлежащая области определения функции,
      называется критической точкой II рода, если в этой точке
      выполняется одно из 3 условий: либо y ′′(x к ) =0 , либо y ′′(x к ) =∞, либо
       y ′′(xк ) не существует.
        Если хк - критическая точка II рода и в ее окрестности изменился
     знак второй производной, то хк - точка перегиба.
                     IV. Нахождение асимптот графика
IV.1. Вертикальные асимптоты.
          Если кривая функции y = f (x) неограниченно приближается к
     вертикальной прямой x =a при x → a , то эта прямая, параллельная оси
     0y, называется вертикальной асимптотой.
          Прямая x =a является вертикальной асимптотой, если
     выполняется одно из трех условий (рис.1.3):
                                       � lim f (x ) =∞,
                                       �   x→ a
                                       � lim f (x ) =∞ ,
                                       �   x → a −0
                                       � lim f (x ) =∞.
                                       �   x → a +0

IV.2. Наклонные асимптоты.
     Если кривая функции y = f (x) при x → +∞ ( x → −∞ ) неограниченно
     приближается к некоторой прямой y =kx +b , то эта прямая

Страницы