Математика. Быкадорова Г.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Точка пересечения с осью 0y отсутствует, т.к . х=0 не
принадлежит области определения функции. Точки пересечения с осью
0 х также отсутствуют, т.к . из условия 0
4
2
=
+
x
x
должно быть 04
2
=+ x ,
что ни при каких значениях х не выполняется, поскольку
04
2
>+ x
.
Исследуем далее функцию по первой производной
2
2
4
)(
x
x
xy
−
=
′
.
Из условия
0)(
=
′
xy
находим критические точки I рода:
04
2
=− x
⇒
2
1
−
=
x
,
2
2
=
x
.
Области возрастания находятся из условия
0)(
>
′
xy
:
0
4
2
2
>
−
x
x
,
(
)
(
)
022
2
>+− xxx ⇒
(
)
(
)
+∞
−
∞
−
∈
;22; Ux .
Области убывания находятся из условия 0)(
<
′
xy :
0
4
2
2
<
−
x
x
,
(
)
(
)
022
2
<+− xxx ⇒
(
)
(
)
2;00;2 U
−
∈
x .
Продолжим исследование функции с использованием второй
производной
3
8
)(
xy =
′′
. В критической точке I рода 2
1
−
=
x
01)2(
<
−
=
−
′
′
y
, следовательно , это точка максимума. Значение функции
в точке максимума
(
)
4
2
42
)2(
2
−=
−
+−
=− y . В критической точке I рода
2
2
=
x
01)2(
>
=
′
′
y
, следовательно, это точка минимума. Значение
функции в точке минимума
(
)
4
2
42
)2(
2
=
+
=y .
Из условия
0)(
<
′
′
xy
определим область выпуклости графика:
0
8
3
<
x
при 0
x , следовательно ,
(
)
0;
∞
−
∈
x . Аналогично, из условия
0)(
>
′
′
xy определим область вогнутости:
0
8
3
>
x
при 0
x ,
следовательно,
(
)
+∞
∈
;0x .
Для определения вертикальных асимптот найдем пределы
функции при приближении к точке х=0: +∞=
+
+→
x
x
x
4
lim
2
0
,
−∞=
+
−→
x
x
x
4
lim
2
0
. Следовательно, прямая х=0 является вертикальной
асимптотой .
Исследуем наличие наклонных асимптот. Предел
1
4
1lim
)(
lim
2
=
+=
+∞→+∞→
x
x
xy
xx
, тогда 1
k ;
[]
0
4
lim
4
lim
4
lim)(lim
2
=
=
−+=
−
+
=−=
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
x
x
xx
x
x
kxxyb
xxxx
.
Аналогично , предел
1
4
1lim
)(
lim
2
=
+=
−∞→−∞→
x
x
xy
xx
и 1
k , 0
b . 
                                           17
    Точка пересечения с осью 0y отсутствует, т.к. х=0 не
принадлежит области определения функции. Точки пересечения с осью
                                      x 2 +4
0х также отсутствуют, т.к. из условия        =0 должно быть x 2 +4 =0 ,
                                         x
что ни при каких значениях х не выполняется, поскольку x 2 +4 >0 .
                                                             x 2 −4
     Исследуем далее функцию по первой производной y ′( x) = 2 .
                                                                x
Из условия y ′( x) =0 находим критические точки I рода: x 2 −4 =0 ⇒
x1 =−2 , x2 =2 .
      Области возрастания находятся из условия y ′( x) >0 :
       x 2 −4
              >0 , (x −2 )(x +2 )x 2 >0 ⇒ x ∈(−∞;−2 )  (2;+∞).
          x2
      Области убывания находятся из условия y ′( x) <0 :
       x 2 −4
              <0 , (x −2 )(x +2 )x 2 <0 ⇒ x ∈(−2;0)  (0;2).
          x2
       Продолжим исследование функции с использованием второй
                          8
производной y ′′( x) = 3 . В критической точке I рода x1 =−2
                          x
y ′′(−2) =−1 <0 , следовательно, это точка максимума. Значение функции

в точке максимума y (−2) =
                                     (−2)2 +4 =−4 . В критической точке I рода
                                   −2
x2 =2     y ′′(2) =1 >0 , следовательно, это точка минимума. Значение

функции в точке минимума y (2) =
                                 (2 ) +4
                                     2
                                         =4 .
                                           2
       Из условия        y ( x) <0 определим область выпуклости графика:
                          ′′
 8
      <0 при x <0 , следовательно, x ∈(−∞;0 ) . Аналогично, из условия
 x3
                                                    8
y ′′( x) >0 определим область вогнутости:              >0   при x >0 ,
                                                    x3
следовательно, x ∈(0;+∞).
       Для    определения         вертикальных          асимптот       найдем пределы
                                                                                   x 2 +4
функции        при      приближении           к    точке       х=0:         lim
                                                                            x → +0
                                                                                          =+∞ ,
                                                                                      x
       x 2 +4
lim           =−∞ . Следовательно, прямая                х=0 является вертикальной
x → −0    x
асимптотой.
    Исследуем наличие наклонных асимптот. Предел
                              y ( x)            �    4 �
                         lim          = lim � 1 + 2 � =1 , тогда k =1 ;
                        x → +∞ x          x → +∞
                                                  �  x �
                                        � x 2 +4       �         �   4  �         � 4�
         b = lim [y( x) −kx] = lim �                −x� = lim � x + −x � = lim � � =0 .
            x → +∞               x → +∞
                                         � x             � x → +∞
                                                                   � x    � x → +∞
                                                                                   � x�
                                 y( x)        �   4 �
Аналогично, предел xlim                = lim � 1 + 2 � =1 и k =1 , b =0 .
                     → −∞         x     x → −∞
                                                � x �

Страницы