Математика. Быкадорова Г.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
называется асимптотой кривой (рис.1.4), причем при
0
≠
k
-
наклонной асимптотой , а при 0
=
k - горизонтальной асимптотой .
Для асимптот выполняется равенство :
()
(
)
[
]
0lim
=
−
−
−∞→
+∞→
bkxxf
x
x
.
Для нахождения коэффициента k разделим данное равенство на х:
()
(
)
0lim =
−−
−∞→
+∞→
x
b
k
x
xf
x
x
, или
()
(
)
()
0limlim =−−
−∞→
+∞→
−∞→
+∞→
x
b
k
x
xf
x
x
x
x
, откуда
()
(
)
x
xf
k
x
x
−∞→
+∞→
= lim .
Из условия
()
(
)
[
]
0lim =−−
−∞→
+∞→
bkxxf
x
x
находится и b :
()
(
)
[
]
kxxfb
x
x
−
=
−∞→
+∞→
lim
.
Если хотя бы один из пределов при вычислении k и b не существует
или бесконечен, то кривая не имеет наклонных асимптот.
Пример 1.18. Исследовать функцию
x
x
xy
4
)(
2
+
=
и построить ее график .
Решение . Данная функция представляет собой дробь, а значит, она не
определена, если знаменатель 0
=
x . Следовательно , область
определения
(
)
(
)
∞
−
∈
;00; Ux .
Данная функция является нечетной :
(
)
)(
44
)(
2
2
xy
x
x
x
x
xy −=
+
−=
−
+−
=−
,
следовательно , она симметрична относительно начала координат .
а) б)
Рис. 1.4. Наклонные асимптоты :
а) при
→
x
; б) при
−∞
→
x
.
y
x
f(x)-kx-b
y=f(x)
y=kx+b
y
x
f(x)-kx-b
y=f(x)
y=kx+b
y
x
а
y
x
а
y
x
а
а) б) в)
Рис. 1.3. Вертикальные асимптоты :
а) при
a
x
→
; б) при
0
−
→
a
x
; в) при
0
+
→
a
x
.
                                                                 16
     называется       асимптотой кривой (рис.1.4), причем при k ≠0 -
     наклонной асимптотой, а при k =0 - горизонтальной асимптотой.
        Для асимптот выполняется равенство: lim [ f (x ) −kx −b] =0 .
                                                                             x → +∞
                                                                             (x → −∞)


          y                                           y                                 y




                  а              x                               а       x                          а         x



                 а)                        б)                            в)
                           Рис. 1.3. Вертикальные асимптоты:
                      а) при x → a ; б) при x → a −0 ; в) при x → a +0 .


              Для нахождения коэффициента k разделим данное равенство на х:
         � f (x )     b�                                  f (x )              b                   f (x )
  lim �           −k − � =0 , или             lim                −k − lim =0 , откуда k = lim            .
(x → −∞)�
x → +∞       x        x�                     x → +∞
                                             (x → −∞)
                                                            x        x → +∞ x
                                                                     (x → −∞)
                                                                                         x → +∞
                                                                                         (x → −∞)
                                                                                                    x
     Из условия x→lim
                    +∞
                       [ f (x ) −kx −b] =0 находится и b: b =x→lim
                                                                 +∞
                                                                    [ f (x ) −kx].
                      (x → −∞)                                                              ( x→ −∞)

                                 y                                                            y
                                          y=f(x)                          y=f(x)

                                            y=kx+b
                                                                        y=kx+b
               f(x)-kx-b                                                                          f(x)-kx-b


                                                             x                                                    x
                                     а)                                                                 б)
                                            Рис. 1.4. Наклонные асимптоты:
                                             а) при x → +∞ ; б) при x → −∞ .

    Если хотя бы один из пределов при вычислении k и b не существует
или бесконечен, то кривая не имеет наклонных асимптот.
                                                                        x 2 +4
Пример 1.18. Исследовать функцию y ( x) =                                      и построить ее график.
                                                                           x
    Решение. Данная функция представляет собой дробь, а значит, она не
    определена, если знаменатель x =0 . Следовательно, область
    определения x ∈(−∞;0)  (0;+∞).
    Данная функция является нечетной: y (−x) =
                                                                                   (−x )2 +4 =−x 2 +4 =−y ( x) ,
                                                                                        −x                x
    следовательно, она симметрична относительно начала координат.

Страницы