Математика. Быкадорова Г.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
2
2
y
z
y
y
z
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
;
xy
z
x
y
z
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
2
- смешанная производная.
Если функция
(
)
(
)
yxfyxz ,,
=
имеет в точке
(
)
yx ; непрерывные частные
производные, то главная часть полного приращения dz называется полным
дифференциалом первого порядка: dy
y
z
dx
x
z
dz
∂
∂
+
∂
∂
= .
Полный дифференциал второго порядка есть:
2
2
22
2
2
2
2
dy
y
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
= .
Пример 1.16. Найти частные производные первого и второго порядков
функции
(
)
423
, yxyxyxz += .
Решение . Частные производные первого порядка:
42
23 xyyx
x
z
+=
∂
∂
;
323
4 yxx
y
z
+=
∂
∂
.
Частные производные второго порядка:
4
2
2
26 yxy
x
z
+=
∂
∂
;
22
2
2
12 yx
y
z
=
∂
∂
;
32
2
83 xyx
yx
z
+=
∂∂
∂
;
32
2
83 xyx
xy
z
+=
∂∂
∂
.
Следует обратить внимание , что
xy
z
yx
z
∂∂
∂
=
∂∂
∂
22
.
Пример 1.17. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков
функции
(
)
423
, yxyxyxz += .
Вычислить значение dz при изменении х от 1 до 1,1, а у – от 1 до 1,2.
Решение . В примере 1.11 для данной функции были найдены частные
производные первого и второго порядков, следовательно :
(
)
(
)
dyyxxdxxyyxdz
32342
423 +++=
;
(
)
(
)
22232242
1283226 dyyxdxdyxyxdxyxyzd ++++=
.
(
)
(
)
(
)
5,12,011411,01121131;1
32342
=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅=dz .
Задания
1.25. Найти частные производные первого порядка от следующих
функций .
1.25.1. yyxxz −+=
23
3 . 1.25.2.
(
)
22
ln yxz += .
1.25.3.
y
x
z = . 1.25.4.
yx
xy
z
−
= .
1.25.5.
t
x
tx
u
2
2
+
−
= . 1.25.6.
−=
tx
u
11
ln
.
1.25.7.
z
x
y
z
x
y
u −+=
. 1.25.8.
x
y
tgz = .
1.26.
x
y
xz sin=
. Доказать, что
2
1
=
∂
+
∂
y
z
y
x
z
x
. 
                                                    12

           � ∂z �             � ∂z �
        ∂��       ��       ∂��       ��
            � ∂y � = ∂ z ;     � ∂y � = ∂ z - смешанная производная.
                      2                   2


              ∂y     ∂y 2        ∂x     ∂y∂x
    Если функция z (x, y ) = f (x, y ) имеет в точке (x; y ) непрерывные частные
производные, то главная часть полного приращения dz называется полным
                                               ∂z   ∂z
дифференциалом первого порядка: dz = dx + dy .
                                               ∂x   ∂y
     Полный дифференциал второго порядка есть:
                                          ∂ 2 z 2 ∂2 z         ∂2 z 2
                                 d 2z =        dx +     dxdy +     dy .
                                          ∂x 2     ∂x∂y       ∂y 2
Пример 1.16. Найти частные производные первого и второго порядков
   функции z (x, y ) =x3 y +x 2 y 4 .
   Решение. Частные производные первого порядка:
                               ∂z                          ∂z
                                  =3x 2 y +2 xy 4 ;           =x 3 +4 x 2 y 3 .
                               ∂x                          ∂y
    Частные производные второго порядка:
         ∂2 z                  ∂2 z                    ∂2 z                        ∂2 z
              =6 xy +2 y 4 ;        =12 x 2 y 2 ;           =3x 2 +8 xy 3 ;             =3x 2 +8 xy 3 .
         ∂x 2
                               ∂y 2
                                                      ∂x∂y                        ∂y∂x
                                                      ∂2 z   ∂2 z
    Следует обратить внимание, что                         =      .
                                                     ∂x∂y ∂y∂x
Пример 1.17. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков
   функции z (x, y ) =x3 y +x 2 y 4 .
    Вычислить значение dz при изменении х от 1 до 1,1, а у – от 1 до 1,2.
   Решение. В примере 1.11 для данной функции были найдены частные
   производные первого и второго порядков, следовательно:
                           dz =(3x 2 y +2 xy 4 )dx +(x 3 +4 x 2 y 3 )dy ;
                d 2 z =(6 xy +2 y 4 )dx 2 +2(3x 2 +8 xy 3 )dxdy +12 x 2 y 2 dy 2 .
                  dz (1;1) =(3 ⋅12 ⋅1 +2 ⋅1 ⋅14 )⋅ 0,1 +(13 +4 ⋅12 ⋅13 )⋅ 0,2 =1,5 .

                                                    Задания

1.25. Найти частные производные первого порядка от следующих
    функций.
    1.25.1. z =x 3 +3x 2 y −y . 1.25.2. z =ln (x 2 +y 2 ).
                x                                            xy
    1.25.3. z = .                               1.25.4. z =         .
                y                                           x −y
                2 x −t                                          � 1     1     �
    1.25.5. u =        .                        1.25.6. u =ln��       −       �� .
                x +2t                                            � x     t    �
                y z x                                             y
    1.25.7. u = + − .                           1.25.8. z =tg .
                x y z                                             x
                   y                  ∂z ∂z 1
1.26. z = x sin      . Доказать, что x +y = .
                   x                  ∂x ∂y 2

Страницы