Математика. Быкадорова Г.В. - 6 стр.

                                                    6
       Следовательно,    скорость   в любой                                 момент         времени      есть
       производная пути по времени.
       В условиях задачи
                        ∆S =2(t +∆t ) −5(t +∆t ) +1 − 2t 3 −5t +1 =
                                            3
                                                                        (              )
                 =2t 3 +6t 2 ∆t +6t ⋅ (∆t ) +2(∆t ) −5t −5∆t +1 −2t 3 +5t −1 =
                                                2       3



                                    =6t 2 ∆t +6t ⋅ (∆t ) +2(∆t ) −5∆t .
                                                        2               3


       Мгновенная скорость υ м в момент времени t:
                                 ∆S          6t 2 ∆t +6t ⋅ (∆t ) +2(∆t ) −5∆t
                                                                        2         3
                    υ м = lim       = lim                                     =
                          ∆t → 0 ∆t   ∆t → 0                  ∆t
                                (
                     = lim 6t 2 +6t ⋅ ∆t +2(∆t ) −5 =6t 2 −5.
                       ∆t → 0
                                                     2
                                                                )
       В момент времени t=2 с υ м =6 ⋅ 2 2 −5 =19 м с .
Пример 1.3. Найти наклон касательной к кривой y =3x 2 +5 в точке (2;3).

                                                            Y
       Решение.     Наклоном     прямой                                                    y = f (x)
       называют угловой коэффициент k
       прямой, заданной уравнением                                                               M
       y =kx +b . Касательная к кривой в
       точке     M0   есть предельное                                                                  ∆y
       положение M 0T секущей M 0 M ,                                                                       T
       когда точка М, перемещаясь                                                 M0       α     N
       вдоль по кривой, стремится к
       совпадению с M 0 .                                                                              y0
                                                                    α             ϕ
                                                            0
                                                                             x0             ∆x              х
       Из геометрических соображений
                              ∆y          f (x0 +∆x ) − f (x0 )
            k =tgα = lim         = lim                          = y′ .
                     ∆x → 0   ∆x  ∆ x → 0        ∆x
    В примере 1.1 была найдена производная от функции y =3 x 2 +5 , а
именно y ′ =6 x . Тогда наклон касательной в заданной точке будет
k =y′(2) =6 ⋅ 2 =12 .
                                  Задания
1.1.    Определить скорость движения точки в конце третьей секунды, если
        путь в S метров, пройденный точкой за t секунд, выражается
        зависимостью S =2t 3 −3 .
1.2.    Когда скорость точки, движущейся по закону s =t 2 −4t +5 , равна
        нулю?
                                                                                                            2
1.3.    Определить скорость изменения функции y =3x 2 −4 x +2 при x = .
                                                                                                            3