Математика. Быкадорова Г.В. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

76
Подчеркнуты предполагаемые верные значащие цифры точного
решения
(
)
1,0y ,
(
)
2,0y .
Наиболее популярным среди методов Рунге - Кутта является метод
четвертого порядка, соответствующие формулы которого имеют вид:
()
()
()
++=
++=
++=
=
−≤≤++++=
+
.,
,
2
,
2
,
2
,
2
,,
,10,22
6
34
23
12
1
43211
hkyhxfk
k
h
y
h
xfk
k
h
y
h
xfk
yxfk
mikkkk
h
yy
ii
ii
ii
ii
ii
Выполним один шаг для задачи Коши, поставленной в примере 8.5:
1
0
=
y
;
()
()()
()()
()()
=⋅++=
=⋅++=
=++=
=
=++++=
.2456663,1116,11,011,0
,1160525,1105,105,0105,0
,105,105,0105,0
,1
,629114,122
6
1,0
1
22
4
22
3
22
2
1
43211
k
k
k
k
kkkky
Для оценки погрешности расчета функции
(
)
xy используется правило
Рунге , согласно которому для метода Рунге - Кутта второго порядка за
оценку погрешности вычислений на сетке с шагом 2h принимается
величина
3
max
2
2
11
h
i
h
i
ni
yy −
−≤≤
, а для четвертого порядка -
15
max
2
2
11
h
i
h
i
ni
yy −
−≤≤
.
Задания
8.9. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши. При каком
числе разбиений будет обеспечена погрешность
1,0
=
ε
?
8.9.1.
x
ey =
′
при 1)0(
=
y в интервале [0;2] с шагом 0,5.
8.9.2.
xxyy 2
2
+−=
′
при
0)0(
=
y
в интервале [0;1] с шагом 0,1.
8.9.3.
2−
−=
′
xy
при 0)1(
=
y в интервале [1;3] с шагом 0,5.
8.9.4.
)1(22
−
−
=
′
xxyy
при 2)0(
=
y в интервале [0;1] с шагом 0,2.
8.9.5.
1
+
=
′
x
y
при 0)0(
=
y в интервале [0;2] с шагом 0,4.
8.9.6.
ctgxyy
⋅
=
′
2
при 0)0(
=
y в интервале [0;π/2] с шагом π/10. 
                                                        76

   Подчеркнуты предполагаемые верные значащие цифры точного
решения y(0,1), y(0,2) .
   Наиболее популярным среди методов Рунге-Кутта является метод
четвертого порядка, соответствующие формулы которого имеют вид:
   �                 h
   � y i +1 = y i +      (k1 +2k 2 +2k 3 +k 4 ), 0 ≤i ≤m −1,
   �                 6
     � k1 = f (xi , y i ),
   �
   �                      �   h     h �
   � k 2 = f � x i + , y i + k1 � ,
    �                       � 2     2 �
      �               �       h     h �
        � k 3 = f � xi + , y i + k 2 � ,
         �              �     2     2 �
           �� k 4 = f (xi +h, y i +hk 3 ).
   Выполним один шаг для задачи Коши, поставленной в примере 8.5:
    y 0 =1 ;
   �        0,1
   � y1 =1 + 6 (k1 +2k 2 +2k 3 +k 4 ) =1,114 629,
   �
   � k1 =1,
    �
      � k 2 =(0,05) +(1 +0,05) =1,105,
                   2          2

   �
   � k 3 =(0,05) +(1 +0,05 ⋅1,105) =1,1160525,
                    2                           2


    � k =(0,1)2 +(1 +0,1 ⋅1,116 )2 =1,2456663.
   �   4
   �
   Для оценки погрешности расчета функции y(x ) используется правило
   Рунге, согласно которому для метода Рунге-Кутта второго порядка за
   оценку погрешности вычислений на сетке с шагом h 2 принимается
                                         h                                                     h
                                y ih −y 22i                                           y ih −y 22i
   величина max                               , а для четвертого порядка - max                      .
                    1≤i ≤n −1       3                                     1≤i ≤n −1      15


                                Задания
8.9. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши. При каком
     числе разбиений будет обеспечена погрешность ε =0,1 ?
       8.9.1. y ′ =e при y (0) =1 в интервале [0;2] с шагом 0,5.
                    x


       8.9.2. y ′ = y −x +2 x при y (0) =0 в интервале [0;1] с шагом 0,1.
                        2


       8.9.3. y′ =−x при y (1) =0 в интервале [1;3] с шагом 0,5.
                      −2


       8.9.4. y ′ =2 y −2 x( x −1) при y (0) =2 в интервале [0;1] с шагом 0,2.
                     1
       8.9.5. y′ =         при y(0) =0 в интервале [0;2] с шагом 0,4.
                   x +1
       8.9.6. y ′ =2 y ⋅ ctgx при y(0) =0 в интервале [0;π/2] с шагом π/10.

Страницы