Математика. Быкадорова Г.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

74
Первая формула называется явной разностной схемой , поскольку дает
возможность вычислить значение
1+i
y в следующей точке сетки по явной
формуле
(
)
iiii
yxhfyy ,
1
+
=
+
.
Две другие формулы представляют неявные разностные схемы.
Метод Эйлера
Основу метода Эйлера составляет явная разностная схема на
равномерной разностной сетке. Интервал интегрирования [a,b] обыкно -
венного дифференциального уравнения первого порядка разбивается на n
частей узловыми точками
ihxx
i
+
=
0
, ni ,...,2,1
=
, и значения
i
y
в этих точках
вычисляется по формуле
(
)
iiii
yxhfyy ,
1
+
=
+
, 1,...,2,1,0
−
=
ni .
Метод Эйлера относится к группе одношаговых методов, в которых
для расчета точек
(
)
11
,
++ ii
yx необходима информация о предыдущей
вычисленной точке
(
)
ii
yx , .
На практике для оценки погрешности расчета функции
(
)
xy
используется правило Рунге . Сначала проводится вычисление
h
i
y с шагом
(
)
nabh
−
=
. Затем число интервалов разбиения удваивается
(
)
nn 2
←
, и
проводятся вычисления
2
h
i
y . За оценку погрешности вычислений на сетке с
шагом 2h принимается величина
2
2
11
max
h
i
h
i
ni
yy −
−≤≤
.
Пример 8.4. Найти методом Эйлера численное решение задачи Коши
1−
=
′
x
ey
при 1)1(
=
y в интервале [1;3] с шагом 0,5. При каком числе
разбиений будет обеспечена погрешность 1,0
=
ε
?
Решение . Проведем решение данной задачи в среде MathCAD. 
                                      74
Первая формула называется явной разностной схемой, поскольку дает
возможность вычислить значение yi +1 в следующей точке сетки по явной
формуле yi +1 = yi +hf (xi , yi ) .
    Две другие формулы представляют неявные разностные схемы.
                                Метод Эйлера
     Основу метода Эйлера составляет явная разностная схема на
равномерной разностной сетке. Интервал интегрирования [a,b] обыкно-
венного дифференциального уравнения первого порядка разбивается на n
частей узловыми точками xi =x0 +ih , i =1,2,..., n , и значения yi в этих точках
вычисляется по формуле yi +1 = yi +hf (xi , yi ) , i =0,1,2,..., n −1 .
     Метод Эйлера относится к группе одношаговых методов, в которых
для расчета точек (xi +1 , yi +1 ) необходима информация о предыдущей
вычисленной точке (xi , yi ) .
     На практике для оценки погрешности расчета функции y(x )
используется правило Рунге. Сначала проводится вычисление y ih с шагом
h =(b −a ) n . Затем число интервалов разбиения удваивается (n ← 2n ) , и
                            h
проводятся вычисления y . За оценку погрешности вычислений на сетке с
                           i
                            2

                                               h

шагом h 2 принимается величина 1max
                                ≤i ≤n −1
                                         y −y .
                                           h
                                           i
                                               2
                                               2i


Пример 8.4. Найти методом Эйлера численное решение задачи Коши
    y ′ =e x −1 при y(1) =1 в интервале [1;3] с шагом 0,5. При каком числе
   разбиений будет обеспечена погрешность ε =0,1 ?
   Решение. Проведем решение данной задачи в среде MathCAD.

Страницы