Математика. Быкадорова Г.В. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

75
Исследование погрешности решения показало , что при числе
разбиений 2n=64
1.0max
2
2
11
=<−
−≤≤
ε
h
i
h
i
ni
yy
.
Методы Рунге - Кутта
Группа методов Рунге - Кутта разного порядка позволяют проводить
численное решение дифференциальных уравнений с хорошей точностью
без использования производных. Так , метод Эйлера – метод Рунге - Кутта
первого порядка.
Метод Рунге - Кутта второго порядка записывается в следующей
форме:
()
()
()
++=
=
−≤≤++=
+
.,
,,
,10,
2
12
1
211
hkyhxfk
yxfk
mikk
h
yy
ii
ii
ii
Пример 8.5. Методом Рунге - Кутта второго порядка решить задачу Коши
()
2,00,10,
22
≤≤=+= xyyx
dx
dy
с шагом
1,0
=
h
.
Решение . Находим решение в узловых точках 0, 0,1, 0,2:
1
0
=
y ;
()
()()
=++=
=
=++=
;22,11,011,0
,1
,111,1
2
1,0
1
22
2
1
211
k
k
kky
(
)
()()
()()
=++=
=+=
=++=
.5662924,11244321,0111,12,0
,244321,1111,11,0
,1530725,105,0111,1
22
2
22
1
212
k
k
kky
                                                                   75




    Исследование погрешности решения показало, что при числе
                                                              h

    разбиений 2n=64                       max y −y    h
                                                      i
                                                              2
                                                              2i   <ε =0.1 .
                                          1≤i ≤n −1


                                                 Методы Рунге-Кутта
     Группа методов Рунге-Кутта разного порядка позволяют проводить
численное решение дифференциальных уравнений с хорошей точностью
без использования производных. Так, метод Эйлера – метод Рунге-Кутта
первого порядка.
     Метод Рунге-Кутта второго порядка записывается в следующей
форме:
             �                  h
             � y i +1 = y i +2 (k1 +k 2 ), 0 ≤i ≤m −1,
              �
                � k1 = f (xi , y i ),
             � k = f (x +h, y +hk ).
             �  2      i     i   1

             �
Пример 8.5. Методом Рунге-Кутта второго порядка решить задачу Коши
  dy
     =x 2 +y 2 ,               y (0 ) =1, 0 ≤x ≤0,2 с шагом h =0,1 .
  dx
   Решение. Находим решение в узловых точках 0, 0,1, 0,2:
     y 0 =1 ;
         �        0,1
         � y1 =1 + 2 (k1 +k 2 ) =1,111,
         �
         � k1 =1,
         �
         � k 2 =(0,1) +(1 +0,1) =1,22;
                           2          2


         �
    � y 2 =1,111 +0,05(k1 +k 2 ) =1,2515307,
    ��
    � k1 =(0,1) +(1,111) =1,244321,
                       2          2

    �
    �� k 2 =(0,2 ) +(1,111 +0,1244321) =1,5662924.
                           2                              2

Страницы