ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
73
Анализ результатов показывает, что наиболее точной является формула
Симпсона. Она обеспечивает заданную точность вычислений при оценке
по правилу Рунге уже при m=2, тогда как формула трапеций дает результат
с заданной точность при m=12, а формула прямоугольников - при m=14.
Задания
8.6. Вычислить определенные интегралы с точностью 05,0
=
ε
по формуле
прямоугольников.
8.6.1.
∫
+
3
0
3
)1( dxx . 8.6.2.
()
∫
−
+
1
1
2
2ln dxx . 8.6.3.
∫
−
π
π
dxx
2
sin .
8.6.4.
∫
+
4
1
3
)1( dxx . 8.6.5.
∫
−
1
0
2
)( dxxxe
x
. 8.6.6.
∫
−
−
5,2
5,0
32
)3( dxxx .
8.7. Вычислить определенные интегралы с точностью 01,0
=
ε
по формуле
трапеций .
8.7.1.
∫
=
2
1
2ln
x
dx
. 8.7.2.
()
∫
+
4
1
2
1x
dx
. 8.7.3.
∫
+
5
1
54 x
xdx
.
8.7.4.
∫
2
0
cos
π
xdxx . 8.7.5.
∫
−
2
1
2
2 dxx . 8.7.6.
∫
+
1
0
)1ln( dxx .
8.8. Вычислить определенные интегралы с точностью
001,0
=
ε
по формуле
Симпсона.
8.8.1.
∫
5
1
3
dxx . 8.8.2.
∫
+
=
1
0
2
1
4
x
dxπ
. 8.8.3.
∫
−
=
1
0
2
4
6
x
dx
π .
8.8.4.
∫
2
0
2
cos
π
xdxx . 8.8.5.
∫
+
2
0
2
1 dxx . 8.8.6.
∫
−
2
0
2cos3
π
dxx .
8.3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим исходную задачу Коши в виде обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка
(
)
yxfxy ,)(
=
′
с начальным
условием
(
)
00
yxy
=
.
Данное уравнение на разностной сетке
{
}
ni
i
x
≤≤ 0
имеет вид
()
),(
iii
yxfx
dx
dy
=
,
(
)
00
yxy
=
.
Используя правую , левую и центральную разностную производную ,
получим :
),(
1
ii
ii
yxf
h
yy
=
−
+
, 10
−
≤
≤
ni ,
(
)
00
yxy
=
;
),(
1
ii
ii
yxf
h
yy
=
−
−
, ni
≤
≤
1 ,
(
)
00
yxy
=
;
),(
2
11
ii
ii
yxf
h
yy
=
−
−+
, 11
−
≤
≤
ni ,
(
)
00
yxy
=
.
73
Анализ результатов показывает, что наиболее точной является формула
Симпсона. Она обеспечивает заданную точность вычислений при оценке
по правилу Рунге уже при m=2, тогда как формула трапеций дает результат
с заданной точность при m=12, а формула прямоугольников - при m=14.
Задания
8.6. Вычислить определенные интегралы с точностью ε =0,05 по формуле
прямоугольников.
3 1 π
8.6.1. ∫( x +1)dx .
3
8.6.2. ∫ln(x +2)dx . 2
8.6.3. ∫sin x 2 dx .
0 −1 −π
4 1 2,5
8.6.4. ∫( x +1)dx .
3
8.6.5. ∫( xe − x )dx .
2x
8.6.6. ∫( x
2
−3 x 3 )dx .
1 0 −0 , 5
8.7. Вычислить определенные интегралы с точностью ε =0,01 по формуле
трапеций.
2 4 5
dx dx xdx
8.7.1. ln 2 =∫ . 8.7.2. ∫(1 + x ) 2
. 8.7.3. ∫ .
1
x 1 1 4x +5
π 2 2 1
8.7.4. ∫x cos xdx .
0
8.7.5. ∫
1
2 −x 2 dx . 8.7.6. ∫ln( x +1)dx .
0
8.8. Вычислить определенные интегралы с точностью ε =0,001 по формуле
Симпсона.
π
5 1 1
dx dx
8.8.1. ∫x 3 dx . 8.8.2. =∫ . 8.8.3. π =6∫ .
1
4 0 1 +x 2 0 4 −x 2
π 2 2 π 2
∫x cos xdx . ∫ 1 +x 2 dx . ∫ 3 −cos 2 xdx .
2
8.8.4. 8.8.5. 8.8.6.
0 0 0
8.3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим исходную задачу Коши в виде обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка y ′( x) = f (x, y ) с начальным
условием y(x0 ) = y 0 .
Данное уравнение на разностной сетке {xi }0≤i ≤n имеет вид
dy
(xi ) = f ( xi , yi ) , y (x0 ) = y 0 .
dx
Используя правую, левую и центральную разностную производную,
y i +1 −y i
получим: = f ( xi , y i ) , 0 ≤i ≤n −1 , y (x 0 ) = y 0 ;
h
y i −y i −1
= f ( xi , y i ) , 1 ≤i ≤n , y (x 0 ) = y 0 ;
h
y i +1 −y i −1
= f ( xi , y i ) , 1 ≤i ≤n −1 , y (x 0 ) = y 0 .
2h
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
