Математика. Быкадорова Г.В. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

71
Вычисление интегральной суммы S есть простейший способ
численного интегрирования. При этом верхняя S
M
и нижняя S
m
границы
суммы S определяют величину погрешности вычисления интеграла I :
∑
−
=
+
−=
1
0
1
)(
n
i
iiiM
xxMS
, где
)(max
1
xfM
ii
xxx
i
+
≤≤
=
;
∑
−
=
+
−=
1
0
1
)(
n
i
iiim
xxmS
, где
)(min
1
xfm
ii
xxx
i
+
≤≤
=
;
mM
SSSI −=−
.
Чаще всего подынтегральная функция на каждом отрезке
),(
1 + ii
xx
заменяется некой приближенной функцией, интеграл от которой
вычисляется аналитически.
В общем случае отрезок [a,b] разбивается на четное число n=2m
отрезков длины h =(b-a)/n и на каждом из отрезков длины 2h заменяют
функцию вспомогательной функцией.
Если функция заменяется ее значением в середине отрезка
(рис.8.3,а), то площадь криволинейной фигуры заменяется на площадь
прямоугольника.
Если функция заменяется линейной функцией (рис.8.3,б), то
площадь криволинейной фигуры заменяется на площадь трапеции. А если
функция заменяется параболой , проходящей через точки (x
i
,f(x
i
)),
(x
i+1
,f(x
i+1
)), (x
i+2
,f(x
i+2
)) (рис.8.3,в), то площадь криволинейной фигуры
заменяется на площадь криволинейной трапеции.
На сетке с координатами x
i
=a+ih, где i =0,1,2,… ,2m, составные
формулы для приближенного вычисления интеграла и оценки
погрешности вычислений по правилу Рунге имеют вид:
- формула прямоугольников
∫
∑
+
+=
−
=
b
a
n
i
i
R
h
xfhdxxf
1
1
0
2
)(
, где
(
)
3
21 hh
IIR −=
;
- формула трапеций
()()()
∫
∑
++=
−
=
+
b
a
n
i
ii
Rxfxf
h
dxxf
2
1
0
1
2
)(
, где
(
)
3
22 hh
IIR
−
=
;
- формула Симпсона
x
x
i
y
f(x)
f(ξ
i
)
x
x
i
y
f(x)
f(ξ
i
)
x
x
i
y
f(x)
f(ξ
i
)
а) б) в)
Рис. 8.3. Аппроксимация исходной подынтегральной функции по методу:
а) прямоугольников; б) трапеций ; в) Симпсона.
x
i+1
x
i+1
x
i+1
                                                       71
    Вычисление       интегральной суммы S есть простейший способ
численного интегрирования. При этом верхняя SM и нижняя Sm границы
суммы S определяют величину погрешности вычисления интеграла I:
               n −1
        S M =∑ M i ( xi +1 −xi ) , где M i = max f ( x) ;
                                                    x i ≤x ≤x i +1
                i =0
               n −1
        S m =∑ mi ( xi +1 −xi ) , где        mi = min f ( x) ;
                                                     xi ≤x ≤x i +1
               i =0

        I −S =S M −S m .
        Чаще всего подынтегральная функция на каждом отрезке ( xi , xi +1 )
заменяется некой приближенной функцией, интеграл от которой
вычисляется аналитически.
        В общем случае отрезок [a,b] разбивается на четное число n=2m
отрезков длины h=(b-a)/n и на каждом из отрезков длины 2h заменяют
функцию вспомогательной функцией.
        Если функция заменяется ее значением в середине отрезка
(рис.8.3,а), то площадь криволинейной фигуры заменяется на площадь
прямоугольника.
        Если функция заменяется линейной функцией (рис.8.3,б), то
площадь криволинейной фигуры заменяется на площадь трапеции. А если
функция заменяется параболой, проходящей через точки (xi,f(xi)),
(xi+1,f(xi+1)), (xi+2,f(xi+2)) (рис.8.3,в), то площадь криволинейной фигуры
заменяется на площадь криволинейной трапеции.
    y                                    y                            f(x)           y                       f(x)
               f(ξi)          f(x)                  f(ξi)                                     f(ξi)




          xi           xi+1          x         xi              xi+1          x           xi           xi+1          x

              а)                   б)                       в)
    Рис. 8.3. Аппроксимация исходной подынтегральной функции по методу:
                   а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона.
    На сетке с координатами xi=a+ih, где i=0,1,2,…,2m, составные
формулы для приближенного вычисления интеграла и оценки
погрешности вычислений по правилу Рунге имеют вид:
    - формула прямоугольников
    b               n −1

    ∫af ( x ) dx =h ∑
                            �    h�
                         f � xi + � +R1 , где R1 = I h 2 −I h 3 ;    (           )
                    i =0      �  2�
    - формула трапеций
                    h n−1
     b

    ∫a f ( x ) dx =   ∑ ( f (xi ) + f (xi+1 )) +R2 , где R2 =(I h 2 −I h ) 3 ;
                    2 i =0
    - формула Симпсона

Страницы