Математика. Быкадорова Г.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

70
8.4. Исследовать зависимость относительной погрешности
численного дифференцирования от шага разностной сетки для
разностной производной второго порядка на трехточечном шаблоне ,
оценивая относительную погрешность как
()
%100⋅
′
′
−
′
=∆
теор
теорразн
y
yy
h :
а) функции xxxy 7)(
2
+= при
{
}
01,0;02,0;05,0;1,0;3,0;5,0
=
h в точке х=4;
б) функции xxxy 2sin)(
2
= при
{
}
01,0;02,0;05,0;1,0;2,0;4,0
=
h в точке х=1;
в) функции
2
2
7
)(
x
xx
xy
+
= при
{
}
01,0;02,0;05,0;1,0;3,0;5,0
=
h в точке х=2;
г) функции
xxxxy 34)(
23
−+=
при
{
}
025,0;05,0;1,0;25,0;5,0
=
h
в точке х=0.
Построить графики зависимостей
(
)
)( hfh
=
∆
.
8.5. На интервале [0;5] таблично задана функция )( xy :
x
i
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
y
i
0,1 0,7 0,9 1,2 1,5 1,6 1,7 1,9 2,0 2,1 2,2
Рассчитать и построить графики всех разностных производных
первого и второго порядков.
Сравнить результаты численного дифференцирования с графиками
теоретических производных
()
x
xy
2
1
=
′
и
()
3
4
1
x
xy −=
′′
.
8.2. Численное интегрирование
В большинстве научных и технических задач нахождение
определенного интеграла от элементарных функций , или от функций ,
заданных таблично , не может быть сведено к аналитическим выражениям .
В этих случаях применяется приближенное интегрирование .
Пусть надо вычислить определенный интеграл
∫
=
b
a
dxxfI )(
для
вещественной функции f(x), которая определена и ограничена на
замкнутом интервале [a,b]. Согласно геометрическому смыслу,
определенный интеграл I есть площадь, ограниченная кривой f(x), осью 0х
и прямыми х=а и х=b (рис.8.2).
Разбив интервал [a,b] на n
частей, найдем интегральную
сумму S:
()
∑
=
+
−=
n
i
iii
xxfS
1
1
)( ξ
,
которая при стремлении
интервалов
iii
xxx −=∆
+ 1
к нулю
для непрерывных функций
стремится к точному значению
интеграла:
IS
i
i
x
=
→∆ 0max
lim
.
x
x
0
=
a
x
1
x
2
x
i
x
i+1
ξ
i
x
n-1
x
n
=
b
y
f(x)
f(ξ
i
)
Рис. 8.2. 
                                                 70
8.4.       Исследовать   зависимость относительной         погрешности
       численного дифференцирования от шага разностной сетки для
       разностной производной второго порядка на трехточечном шаблоне,
                                                                        y′разн −yтеор
                                                                                   ′
       оценивая относительную погрешность как ∆(h ) =                                 ⋅100% :
                                                                               ′
                                                                             yтеор
       а) функции y ( x) = x 2 +7 x при h ={0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} в точке х=4;
       б) функции y ( x) =x 2 sin 2 x при h ={0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} в точке х=1;
                          x 2 +7 x
       в) функции y ( x) =           при h ={0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} в точке х=2;
                              x2
       г) функции y ( x) =x 3 +4 x 2 −3x при h ={0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,025} в точке х=0.
        Построить графики зависимостей ∆(h ) = f (h) .
8.5. На интервале [0;5] таблично задана функция y(x) :
        xi     0,0      0,5      1,0   1,5      2,0    2,5      3,0     3,5              4,0    4,5     5,0
        yi     0,1      0,7      0,9   1,2      1,5    1,6      1,7     1,9              2,0    2,1     2,2
          Рассчитать и построить графики всех разностных производных
       первого и второго порядков.
          Сравнить результаты численного дифференцирования с графиками
                                                       1                    1
       теоретических производных y ′(x ) =                  и y ′′(x ) =−              .
                                                      2 x               4 x3
                                  8.2. Численное интегрирование
    В большинстве научных и технических задач нахождение
определенного интеграла от элементарных функций, или от функций,
заданных таблично, не может быть сведено к аналитическим выражениям.
В этих случаях применяется приближенное интегрирование.
                                                                                           b

       Пусть надо вычислить определенный интеграл I = f ( x )dx для                        ∫
                                                                                           a
вещественной функции f(x), которая определена и ограничена на
замкнутом интервале [a,b]. Согласно геометрическому смыслу,
определенный интеграл I есть площадь, ограниченная кривой f(x), осью 0х
и прямыми х=а и х=b (рис.8.2).
                                           Разбив интервал [a,b] на n
 y                                      частей, найдем интегральную
                              f(ξi)                                                n
                                                            сумму S: S =∑ f (ξi )( xi +1 −xi ) ,
                                                                                  i =1

                                         f(x)               которая    при         стремлении
                                                            интервалов i
                                                                       ∆ x = x i +1 −x i к нулю

                                                            для непрерывных функций
   x0= a x1     x2        xi ξi xi+1    xn-1 xn= b     x    стремится к точному значению
                                                            интеграла:            lim          S =I .
                     Рис. 8.2.                                              max ∆xi → 0
                                                                              i

Страницы