Математика. Быкадорова Г.В. - 68 стр.

                                                              68
     Для     нахождения    второй разностной              производной
используется трехточечный шаблон (рис.8.1,в). Сначала найдем правую и
левую разностные производные:
                                         y ( x i ) − y ( x i −1 )                       y ( x i +1 ) − y ( x i )
                        y ′л ( x i ) ≈                            ;   y ′пр ( x i ) ≈                            .
                                                   h                                                h
     Вторая производная по определению равна
                       y ( xi +1 ) −y ( xi ) y ( xi ) −y ( xi −1 )
                                            −
                                  h                   h             y ( x ) −2 y ( xi ) +y ( xi −1 )
           y′′( xi ) ≈                                             = i +1                            .
                                            h                                  h2
    Погрешность численного дифференцирования уменьшается с
уменьшением шага разностной сетки, и при h → 0 разностные производные
стремятся к истинным значениям производных.
Пример 8.1. Найти правую, левую и центральную разностные производные
                                                                        1
    первого порядка от функции y( x) =x 2 − в точке х=2 на двухточечном
                                                                        x
    шаблоне разностной сетки с шагом h=0,1.
          Сравнить поученные данные с теоретическим значением
    первой производной в заданной точке.
                        1 �           1 �                        1 �    1�
                    22 − −� 1,9 2 − �                     2,12 − −� 22 − �
                        2 �          1,9 �                      2,1 �   2�
    Решение. y′пр =                        =4,163 ; y′л =                  =4,338 ;
                            0,1                                    0,1
                                               1 �        1 �
                                        2,12 − −� 1,92 − �
                                              2,1 �      1,9 �
                                 yц′ =                         =4,251 .
                                                 2 ⋅ 0,1
    Теоретическое значение первой производной в точке х=2:
                            1                   1
                              2
                                y′( x) =2 x +
                                , y′(2) =2 ⋅ 2 + 2 =4,25 .
                            x                   2
    Абсолютные погрешности ∆ разностных производных при численном
    дифференцировании составляют следующие значения:
         ∆ пр = y ′пр −y ′ = 4,163 −4,25 =0,087; ∆ пр = y ′л −y ′ = 4,338 −4,25 =0,088;
                                    ∆ пр = y ц′ −y ′ = 4,251 −4,25 =0,001.
Пример 8.2. На трехточечном шаблоне разностной сетки с шагом 0,2
   вычислить вторую разностную производную в точке х=1 для функции
   y ( x) =e 2 x −x 3 и сравнить ее с теоретическим значением второй
   производной в заданной точке.
   Решение. Вторая разностная производная в точке х=1 равна:
                       ′ (1) =
                     y′разн
                                                             (        ) (
                                   e(2⋅1, 2 ) −1,23 −2 e 2⋅1 −13 + e 2⋅0,8 −0,83
                                                                                 =23,952 .
                                                                                               )
                                                         0,2 2
   Теоретическое значение второй производной в заданной точке:
                                                ′
       y′(x ) =2e 2 x −3 x 2 ; y′′(x ) =(y′(x )) =4e 2 x −6 x ; y′′(1) =2e 2⋅1 −6 ⋅1 =23,556 .
   Относительная погрешность ∆ численного дифференцирования равна:
                       y′разн
                         ′ (1) −y′′(1)         23,952 −23,556
                ∆=                     ⋅100% =                ⋅100% =1,681%
                              y′′(1)               23,556