Математика. Быкадорова Г.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

67
8. Основные численные методы
8.1. Численное дифференцирование
В большинстве практических задач , например, при решении
дифференциальных уравнений или нахождении дифференциалов от
таблично заданных функций , используются приемы численного
дифференцирования. Эти приемы основываются на определении
производной и дифференциала.
Пусть необходимо найти производную )( xy
′
от функции )( xy .
Разобьем область дифференцирования точками
i
x с постоянным шагом h
(рис.8.1,а). Множество
{
}
i
x называют разностной сеткой , а
i
x - узлами
сетки.
Нахождение производной в любой узловой точке сводится к
вычислению отношения
1
1
)()(
)(
−
−
−
−
≈
′
ii
ii
i
xx
xyxy
xy
или
h
xyxy
xy
ii
i
)()(
)(
1 −
−
≈
′
.
В этом случае используются только две точки сетки
(
)
ii
xx ,
1 −
, т.е.
производная находится на двухточечном шаблоне (рис.8.1,б). Полученная
двухточечная формула для первой производной реализует
дифференцирование назад (левая разностная производная). Аналогично
находится правая разностная производная.
Более точной для первой производной на двухточечном шаблоне
(
)
11
,
+− ii
xx
является центральная разностная производная, которая есть
полусумма левой и правой разностных производных:
h
xyxyxx
xyxy
xx
xyxy
xy
iiii
ii
ii
ii
i ц
2
)()(
2
)()()()(
)(
111
1
1
1
−+−
−
+
+
−
=
−
−
+
−
−
≈
′
.
•
•
x
i
•
•
•
•
x
x
i
•
x
x
i+1
x
i-1
•
•
•
•
•
•
y
•
x
i
x
x
i-1
x
i
•
x
x
i-1
x
i+1
y(x
i
)
a)
y(x
i
)
y(x
i
)
y(x
i
)
y(x
i-1
)
y(x
i-1
)
y(x
i+1
)
y(x
i+1
)
y(x
i-1
)
б)
в)
Рис.8.1. Разбиение области дифференцирования: а) –
общее разбиение ;
б) – двухточечные шаблоны ; в) – трехточечный шаблон.
x
i-1
x
i+1
x
i+2
x
i-2 
                                                         67

                           8. Основные численные методы
                                8.1. Численное дифференцирование
    В большинстве практических задач, например,             при решении
дифференциальных уравнений или нахождении дифференциалов от
таблично заданных функций, используются приемы численного
дифференцирования. Эти приемы основываются на определении
производной и дифференциала.
    Пусть необходимо найти производную y ′(x) от функции y(x) .
Разобьем область дифференцирования точками xi с постоянным шагом h
(рис.8.1,а). Множество {xi } называют разностной сеткой, а xi - узлами
сетки.
      y                                          y(xi-1) y(xi)
                                                                                          • x•i
                                                                                         xi-1               •             x
                        y(xi)      •       •         •                               y(xi-1) y(xi) y(xi+1)
                           •                                                              • x•i x•i+1
                                                                                         xi-1                             x

                  •                                                                                 б)
           •
                                                                                                y(xi-1) y(xi) y(xi+1)
           •
          xi-2
                  •
                 xi-1
                           •
                          xi
                                   •
                                  xi+1    x•i+2     •              x                      •         •xi-1 x•i         •
                                                                                                                     xi+1     x
                                 a)                                                                 в)
  Рис.8.1. Разбиение области дифференцирования: а) – общее разбиение;
         б) – двухточечные шаблоны; в) – трехточечный шаблон.

      Нахождение производной в любой узловой точке сводится к
                                                  y ( x i ) − y ( xi −1 )                        y ( x i ) − y ( xi −1 )
вычислению отношения y ′( xi ) ≈                                            или y ′( xi ) ≈                              .
                                                       x i −x i −1                                         h
            В этом случае используются только две точки сетки (xi −1 , xi ), т.е.
производная находится на двухточечном шаблоне (рис.8.1,б). Полученная
двухточечная              формула    для   первой   производной    реализует
дифференцирование назад (левая разностная производная). Аналогично
находится правая разностная производная.
            Более точной для первой производной на двухточечном шаблоне
(x i −1 , x i +1 ) является центральная разностная производная, которая есть
полусумма левой и правой разностных производных:

                                  y ( x i +1 ) − y ( x i ) y ( x i ) − y ( xi −1 )
                                                          +
                                       x i +1 −x i              x i −x i −1         y ( x ) − y ( x i −1 )
                   y ц′ ( x i ) ≈                                                  = i +1                  .
                                                          2                                2h

Страницы