Математика. Быкадорова Г.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

66
Легко видеть, что
(
)
(
)
xafxaf
+
=
−
, так что кривая
плотности симметрична относительно прямой
a
x
=
. Методами
дифференциального исчисления можно установить, что кривая плотности
имеет один единственный максимум при
a
x
и две точки перегиба при
σ
±
=
a
x
.
Вероятностный смысл параметров а и σ выясняется после нахождения
математического ожидания и дисперсии. Оказывается, что
(
)
(
)
2
, σ== XDaXM .
Определенный интеграл с переменным верхним пределом вида
()
∫
−
=Φ
xt
dtex
0
2
2
2
1
π
носит название нормированной функции Лапласа или просто функции
Лапласа.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
(
)
(
)
(
)
(
)
xx
Φ
−
=
−
Φ
=
Φ
=
Φ
;5,0;00 .
Функция распределения случайной величины , подчиненной
нормальному закону распределения, может быть выражена через функцию
Лапласа:
()
−
Φ+=
σ
ax
xF
2
1
.
Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток
(
)
β
α
,
равна
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
δ
α
δ
β
α
β
β
α
aaFFXP
−
Φ
−
−
Φ
=
−
=
<
<
.
Если промежуток симметричен относительно точки а=М(Х), то получим
формулу вида:
{
}
(
)
σεε Φ=<− 2aXP .
При
ε
t
=
получим
{
}
(
)
ttaXP Φ=<− 2σ
. В частности, при t =1,2,3 получим
{
}
(
)
{
}
{
}
9973,03,9545,02,6827,012 =<−=<−=Φ=<− σσσ aXPaXPaXP
.
Последнее равенство дает основание к следующему практическому
правилу, которое часто называют правилом «3σ»: все практически
возможные значения случайной величины , подчиненной нормальному
закону распределения, заключены в интервале
(
)
σ
σ
3,3
+
−
aa .
Задания
7.25. Масса заготовки выпускаемого изделия является нормально
распределенной случайной величиной со средним значением 100 кг
и стандартным отклонением 8 кг. Наудачу выбирают заготовку.
Найти вероятности следующих событий :
а) масса заготовки меньше 90 кг;
б) масса заготовки больше 110 кг;
в) масса заготовки находится в интервале от 95 до 105 кг;
г) масса заготовки находится в интервале от 97 до 112 кг. 
                                       66
    Легко          видеть,     что f (a −x ) = f (a +x ) , так что кривая
плотности симметрична относительно прямой x =a . Методами
дифференциального исчисления можно установить, что кривая плотности
имеет один единственный максимум при x =a и две точки перегиба при
x =a ±σ .
    Вероятностный смысл параметров а и σ выясняется после нахождения
математического       ожидания  и   дисперсии.           Оказывается, что
M (X ) =a, D(X ) =σ .
                    2


    Определенный интеграл с переменным верхним пределом вида
                                               x   t2
                                     1      −
                             Φ(x ) =
                                     2π ∫
                                             2
                                          e    dt
                                        0
носит название нормированной функции Лапласа или просто функции
Лапласа.
    Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
                    Φ(0 ) =0; Φ(∞) =0,5; Φ(−x ) =−Φ(x ) .
    Функция распределения случайной величины, подчиненной
нормальному закону распределения, может быть выражена через функцию
                        x −a �
Лапласа: F (x ) = +Φ��
                 1
                               � .
                 2    � σ �
    Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток (α, β )
равна P(α < X <β ) =F (β ) −F (α ) =Φ((β −a ) δ ) −Φ((α −a ) δ ) .
Если промежуток симметричен относительно точки а=М(Х), то получим
формулу вида: P{X −a <ε}=2Φ(ε σ ) .
При ε =tσ получим P{X −a

Страницы