Составители:
53
Необходимо заметить, что самый низкий энергетический уровень будет
при
n = 1. Он называется основным. Остальные энергетические уровни будут
возбужденными.
Выше мы рассмотрели одномерную задачу или плоскую модель
потенциальной ямы. Совершенно аналогично можно было бы рассмотреть
трехмерную задачу. В этом случае необходимо учитывать все три
координаты
х, у, z, а одномерная потенциальная яма как бы заменяется
потенциальным ящиком, имеющим три измерения. В такой трехмерной
задаче решение волнового уравнения, определяющее собственные функции,
будет иметь вид:
a
z
n
sin
a
y
n
sin
a
x
n
sinA)z,y,x(
nnn
3
3
2
2
1
1
321
π
π
π
ψ
⋅⋅= . (3.40)
Соответственно собственные значения энергии определяются формулой:
m
a
n
a
n
a
n
E
nnn
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
321
π
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
, (3.41)
где
n
1
, n
2
, n
3
- целые числа, являющиеся квантовыми числами при
квантовании энергии по осям
х, у и z. В случае кубического потенциального
ящика
а
1
= а
2
= a
3
= а и вместо (3.41) можно записать:
()
ma
nnn
E
nnn
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
321
π
=
⋅++= . (3.42)
Используя выражение (3.42), легко показать на примере этой трехмерной
задачи вырождение энергетических уровней, о котором говорилось выше.
Предположим, что
9
2
3
2
2
2
1
=
+
+
nnn
, (3.43)
что соответствует энергии
ma
E
2
9
2
2
2
π
=
= . (3.44)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
