Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Линейные операторы
Вариант 1.
1. Найти норму линейного оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) =
R
t
0
x(τ)dτ.
2. Найти ядро оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) =
R
t
0
x(τ)dτ + x(t).
3. Рассмотрим оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x(t)/t с областью определения
D = {x ∈ C[0, 1] : ∃lim
t→+0
t
−1
x(t)}. Доказать, что A – замкнутый оператор.
Вариант 2.
1. Найти норму линейного оператора A : L
2
(0, 1) → L
2
(0, 1), Ax(t) =
R
t
0
x(τ)dτ.
2. Доказать, что оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) =
R
t
0
x(τ)dτ + x(t) непрерывно обратим,
и найти оператор A
−1
.
3. Пусть A-замкнутый оператор. Доказать, что ker A – замкнутое множество.
Вариант 3.
1. Пусть Ax(t) =
R
t
0
x(τ)dτ – оператор Вольтерра в пространстве C[0, 1]. Найти A
n
и доказать,
что kA
n
k ≤ K
n
/n! для некоторой постоянной K > 0.
2. Доказать непрерывную обратимость оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) =
x(t) +
R
1
0
e
s+t
x(s)ds и найти A
−1
.
3. Пусть A, B : E → F – линейные операторы, причем A замкнут, B ограничен и
D(A) ⊂ D(B). Доказать, что A + B – замкнутый оператор.
Вариант 4.
1. Найти норму линейного оператора A : L
2
(0, 1) → L
2
(0, 1), Ax(t) = t
R
t
0
x(τ)dτ.
2. Пусть A, B : E → E – линейные операторы, D(A) = D(B) = E, AB + A + I =
0, BA + A + I = 0. Доказать, что существует обратный оператор A
−1
.
3. Найти норму оператора ортогонального проектирования на подпространство H в гильбер-
товом пространстве V .
Вариант 5.
1. Найти норму линейного оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x(t
2
).
2. Пусть A ∈ L(E), N
k
= ker(A
k
), k = 0, 1, 2, .... Доказать, что N
0
⊂ N
1
⊂ ... ⊂ N
k
⊂ N
k+1
⊂
..., и если N
k
= N
k+1
для некоторого натурального k, то N
k
= N
k+1
= N
k+2
= ....
3. Доказать, что последовательность операторов A
n
x(t) = x(t
1+1/n
), n ∈ N в пространстве
C[0, 1] такова, что A
n
∈ L(C[0, 1]) и при этом A
n
сильно сходится к тождественному
оператору при n → ∞.
Вариант 6.
1. Найти норму линейного оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = t
2
x(0).
2. Рассмотрим оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x
00
(t) + x(t) с областью определения
D(A) = {x ∈ C
2
[0, 1] : x(0) = x
0
(0) = 0}. Доказать непрерывную обратимость A и найти A
−1
.
3. Пусть E – банахово пространство. Доказать, что в пространстве L(E) множество непре-
рывно обратимых операторов открыто.
19
3.2.   Линейные операторы
   Вариант 1.
                                                                    Rt
1. Найти норму линейного оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = 0 x(τ )dτ .
                                                         Rt
2. Найти ядро оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = 0 x(τ )dτ + x(t).
3. Рассмотрим оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x(t)/t с областью определения
D = {x ∈ C[0, 1] : ∃ limt→+0 t−1 x(t)}. Доказать, что A – замкнутый оператор.

   Вариант 2.
                                                                       Rt
1. Найти норму линейного оператора A : L2 (0, 1) → L2 (0, 1), Ax(t) = 0 x(τ )dτ .
                                                        Rt
2. Доказать, что оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = 0 x(τ )dτ + x(t) непрерывно обратим,
и найти оператор A−1 .
3. Пусть A-замкнутый оператор. Доказать, что ker A – замкнутое множество.

   Вариант 3.
                  Rt
1. Пусть Ax(t) = 0 x(τ )dτ – оператор Вольтерра в пространстве C[0, 1]. Найти An и доказать,
что kAn k ≤ K n /n! для некоторой постоянной K > 0.
2. Доказать
      R 1 s+t непрерывную обратимость      оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) =
                               −1
x(t) + 0 e x(s)ds и найти A .
3. Пусть A, B : E → F – линейные операторы, причем A замкнут, B ограничен и
D(A) ⊂ D(B). Доказать, что A + B – замкнутый оператор.

   Вариант 4.
                                                                       Rt
1. Найти норму линейного оператора A : L2 (0, 1) → L2 (0, 1), Ax(t) = t 0 x(τ )dτ .
2. Пусть A, B : E → E – линейные операторы, D(A) = D(B) = E, AB + A + I =
0, BA + A + I = 0. Доказать, что существует обратный оператор A−1 .
3. Найти норму оператора ортогонального проектирования на подпространство H в гильбер-
товом пространстве V .

     Вариант 5.
1. Найти норму линейного оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x(t2 ).
2. Пусть A ∈ L(E), Nk = ker(Ak ), k = 0, 1, 2, .... Доказать, что N0 ⊂ N1 ⊂ ... ⊂ Nk ⊂ Nk+1 ⊂
..., и если Nk = Nk+1 для некоторого натурального k, то Nk = Nk+1 = Nk+2 = ....
3. Доказать, что последовательность операторов An x(t) = x(t1+1/n ), n ∈ N в пространстве
C[0, 1] такова, что An ∈ L(C[0, 1]) и при этом An сильно сходится к тождественному
оператору при n → ∞.

   Вариант 6.
1. Найти норму линейного оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = t2 x(0).
2. Рассмотрим оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x00 (t) + x(t) с областью определения
D(A) = {x ∈ C 2 [0, 1] : x(0) = x0 (0) = 0}. Доказать непрерывную обратимость A и найти A−1 .
3. Пусть E – банахово пространство. Доказать, что в пространстве L(E) множество непре-
рывно обратимых операторов открыто.




                                             19

Страницы