ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Вариант 6.
1. Образует ли полное пространство множество непрерывных на [0, 1] функций таких, что
x(0) = x(1)?
2. Доказать замкнуто сть конечномерного линейного многообразия нормированного простран-
ства.
3. Доказать, что в L
2
(0, 1) множество L = {x(t) ∈ L
2
(0, 1) :
R
1
0
x(t)dt = 0} является
подпрост ранством и найти L
⊥
.
Вариант 7.
1. Пусть M ⊂ R – открытое множество. Будет ли множество
A
M
= {x(t) ∈ C[0, 1], x(t) ∈ M ∀t ∈ [0, 1]}
открытым?
2. В пространстве C[0, 1] найти расстояние от элемента x
0
(t) = t до подпространства
многочленов нулевой степени.
3. Доказать, что множество L ⊂ L
2
(0, 1), L = {x(t) ∈ L
2
(0, 1) : x(t) = 0 п.в. на [a, b] ⊂ [0, 1]}
является подпространством и найти L
⊥
.
Вариант 8.
1. Является ли множество функций x
n
(t) = sin(t + n), t ∈ [0, 1] вполне ограниченным в
C[0, 1]?
2. Найти расстояние в C[0, 1] от элемента x
0
(t) = t
2
до подпространства многочленов степени
не больше единицы.
3. Доказать, что множество многочленов P (t) таких, что P (1) = 0 выпуклое и всюду плотное
в L
2
(0, 1).
Вариант 9.
1. Покажите, что множество последовательностей
x = (ξ
1
, ξ
2
, ...),
q
ξ
2
2
+ ξ
2
3
+ ... ≤ ξ
1
замкнуто в пространстве l
1
.
2. Доказать, что параллелепипед {x ∈ l
2
, x = (x
1
, x
2
, ...) : |x
k
| ≤ 1/k} компактен в l
2
.
3. В пространстве L
2
(0, 1) найти расстояние от элемента x(t) = t
2
до подпространства
L = {x ∈ L
2
(0, 1) :
R
1
0
x(t)dt = 0}.
Вариант 10.
1. Всегда ли диаметр шара в метрическом пространстве вдвое больше радиуса?
2. В пространстве l
2
найти расстояние ρ(x, L
n
) от элемента x = (1, 0, 0, ...) до подпространства
L
n
= {x ∈ l
2
: x = (x
1
, x
2
, ...),
P
n
k=1
x
k
= 0}.
3. В гильбертовом пространстве L
2
(0, 1) найти ортогональное дополнение к множеству
многочленов с нулевым свободным членом.
18
Вариант 6.
1. Образует ли полное пространство множество непрерывных на [0, 1] функций таких, что
x(0) = x(1)?
2. Доказать замкнутость конечномерного линейного многообразия нормированного простран-
ства. R1
3. Доказать, что в L2 (0, 1) множество L = {x(t) ∈ L2 (0, 1) : 0 x(t)dt = 0} является
подпространством и найти L⊥ .
Вариант 7.
1. Пусть M ⊂ R – открытое множество. Будет ли множество
AM = {x(t) ∈ C[0, 1], x(t) ∈ M ∀t ∈ [0, 1]}
открытым?
2. В пространстве C[0, 1] найти расстояние от элемента x0 (t) = t до подпространства
многочленов нулевой степени.
3. Доказать, что множество L ⊂ L2 (0, 1), L = {x(t) ∈ L2 (0, 1) : x(t) = 0 п.в. на [a, b] ⊂ [0, 1]}
является подпространством и найти L⊥ .
Вариант 8.
1. Является ли множество функций xn (t) = sin(t + n), t ∈ [0, 1] вполне ограниченным в
C[0, 1]?
2. Найти расстояние в C[0, 1] от элемента x0 (t) = t2 до подпространства многочленов степени
не больше единицы.
3. Доказать, что множество многочленов P (t) таких, что P (1) = 0 выпуклое и всюду плотное
в L2 (0, 1).
Вариант 9.
1. Покажите, что множество последовательностей
q
x = (ξ1 , ξ2 , ...), ξ22 + ξ32 + ... ≤ ξ1
замкнуто в пространстве l1 .
2. Доказать, что параллелепипед {x ∈ l2 , x = (x1 , x2 , ...) : |xk | ≤ 1/k} компактен в l2 .
3. В пространстве RL2 (0, 1) найти расстояние от элемента x(t) = t2 до подпространства
1
L = {x ∈ L2 (0, 1) : 0 x(t)dt = 0}.
Вариант 10.
1. Всегда ли диаметр шара в метрическом пространстве вдвое больше радиуса?
2. В пространстве l2 найти расстояние ρ(x, Ln ) от элемента x = (1, 0, 0, ...) до подпространства
Ln = {x ∈ l2 : x = (x1 , x2 , ...), nk=1 xk = 0}.
P
3. В гильбертовом пространстве L2 (0, 1) найти ортогональное дополнение к множеству
многочленов с нулевым свободным членом.
18
