Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 14 стр.

    Теорема. Пусть A ∈ L(E, F ), где E и F – банаховы пространства, ker A = {0}, Im(A) =
F . Тогда существует A−1 ∈ L(F, E).
    Таким образом, если линейный ограниченный оператор A, отображающий банахово про-
странство E на все банахово пространство F , имеет обратный A−1 , то оператор A−1 ограни-
чен.
Последние два утверждения перестают быть верными, если отказаться от полноты одного из
пространств E или F .

  Упражнение 2.7. В банаховых пространствах E, F рассмотрим операторное уравнение
Ax = y, A ∈ L(E, F ). Доказать, что из однозначной разрешимости этого уравнения при
любой правой части y ∈ F следует непрерывная зависимость решения x ∈ E от y ∈ F .
Если ограниченный линейный оператор A ∈ L(E, F ) непрерывно обратим, то и близкие к
нему линейные ограниченные операторы непрерывно обратимы:
                                            1
                           kB − Ak <             ⇒ ∃B −1 : F → E.                     (∗∗)
                                          kA−1 k
   Упражнение 2.8. Показать, что из (**) вытекает, что
                                                 kA−1 k
                              kB −1 k ≤                        .
                                          1 − kB − Ak · kA−1 k
В частном случае, когда E = F, A = I, B = I − C, где C ∈ L(E), kCk < 1, получаем оценку
                                                       1
                                 k(I − C)−1 k ≤             .
                                                    1 − kCk

2.3.   Замкнутые операторы
   Непрерывность (ограниченность) линейного оператора тесно связана с понятием замкну-
тости графика G(A) оператора A.
  Определение 7. Графиком оператора A : D → F называется множество G(A) =
{{x, Ax}, x ∈ D} ⊂ E × F .
Пусть E, F – нормированные пространства. Линейный оператор A называется замкнутым,
если из условий ∀xn ∈ D, xn → x, Axn → y следует x ∈ D, y = Ax, то есть, G(A)
замкнутое множество в пространстве Z = E + F пар z = {x, y}, где x ∈ E, y ∈ F , с метрикой
ρ(z1 , z2 ) = kx1 − x2 kE + ky1 − y2 kF .
   Упражнение 2.9. 1) Если A ∈ L(E, F ), то A замкнут.
2) Если A замкнут и ∃A−1 , то A−1 замкнут. Доказать.
Наряду с принципом открытости отображения и теоремой Банаха об обратном операторе
третьим ”китом” теории линейных операторов является следующая
   Теорема (о замкнутом графике).Пусть E, F – банаховы пространства, A : E → F –
замкнутый линейный оператор. Тогда оператор A ограничен (непрерывен).




                                               16