Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 12 стр.

   Линейный оператор A : E → F ограничен тогда и только тогда, когда kAxkF ≤ CkxkE ∀x ∈
E, где C не зависит от x. Для линейных операторов из непрерывности следует ограниченность
и наоборот.
  Упражнение 2.1. Показать, что из непрерывности линейного оператора A : D → F в
точке x0 ∈ D вытекает его непрерывность в каждой точке D, а значит, и ограниченность.
   Если множество L (E, F ) линейных непрерывных операторов, ограниченных на E, со
значениями в F наделить структурой линейного пространства, полагая ∀x ∈ E, λ ∈
R (или C) : (A + B)x = Ax + Bx, λA(x) = λ(Ax), а затем определить норму операто-
ра: kAk = sup{kAxkF ; x ∈ E, kxkE = 1}, то получим нормированное пространство. Важной
особенностью пространства L(E, F ) является его полнота в случае, если пространство F
является полным (банаховым). Пространство E при этом может и не являться полным. Схо-
димость по норме пространства L(E, F ) называют равномерной сходимостью операторов.
  Упражнение 2.2. Доказать, что kAk = sup{kAxk, kxkE ≤ 1} = inf{C : kAxkF ≤
CkxkE ∀x ∈ E}.
Из определения нормы линейного оператора следует оценка kAxkF ≤ kAk · kxkE . Поэтому
из равномерной сходимости последовательности операторов An ∈ L(E, F ) к оператору A
следует сходимость последовательности {An x}, при всех x ∈ E, к элементу Ax ∈ F (иногда
говорят, что An → A сильно при n → ∞, если An x → Ax ∀ x ∈ E). Обратное, вообще говоря,
неверно. Рассмотрим простой пример. Пусть E = V -гильбертово пространство с ортобазисом
{e1 , e2 ,. . . }. Определим последовательность операторов An : V → V, ∀x ∈ V, An x = n1 ci ei ,
                                                                                     P
где ci = (x, ei ). Тогда
                                    An x → x при n → ∞ ∀ x ∈ V
и, следовательно, An → I, (I-единичный оператор) в смысле поточечной (сильной) сходимо-
сти. Однако, равномерная сходимость последовательности {An } не имеет места, т.к.
                       kAn − An+p k = sup{kAn x − An+p xk, kxk = 1} ≥
                        kAn en+1 − An+p ee+1 k = ken+1 k = 1 ∀ n, p > 0.
   Приведем две интересные теоремы, описывающие поведение последовательностей опера-
торов из L(E, F ).
   Теорема (принцип равномерной ограниченности). Пусть E-банахово пространство, F -
нормированное пространство, An ∈ L(E, F ) и последовательность {An x} является ограни-
ченной в F ∀ x ∈ E. Тогда последовательность (числовая) {kAn k} ограничена.
Данный принцип называют теоремой Банаха-Штейнгауза.
   Теорема. Пусть E, F -банаховы пространства, A, An ∈ L(E, F ). Последовательность An
сильно сходится к A тогда и только тогда, когда последовательность норм операторов
{kAn k} ограничена и An x → Ax (n → ∞) ∀ x ∈ L, где L-линейное многообразие всюду
плотное в E.
   Важное значение для приложений имеет следующий результат о продолжении линейно-
го оператора, определенного на некотором линейном многообразии, на все пространство с
сохранением нормы.
   Теорема.Пусть A : D → F, D ⊂ E, E-нормированное пространство, F -банахово про-
странство, A ∈ L(D, F ), D = E. Тогда существует оператор Ã ∈ L(E, F ) такой, что
Ãx = Ax ∀ x ∈ D, kÃk = kAk.

                                               14