Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Для конечной системы x
1
, x
2
, . . . , x
n
линейная независимость равносильна условию
Γ(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = det(x
k
, x
j
) 6= 0. Данный определитель называется определителем Грама.
Пусть {e
1
, e
2
, . . .} — ортонормированная система в гильбертовом пространстве V . Числа
c
k
= (x, e
k
), k = 1, 2, . . . называются коэффициентами Фурье элемента x ∈ V относительно
системы {e
k
}. Для любого элемента x ∈ V справедливо неравенство Бесселя:
∞
X
k=1
|c
k
| ≤ kxk
2
.
Ортонормированная система {e
j
} называется полной, если из условия c
k
= (x, e
k
) = 0 ∀k сле-
дует, что x = 0. В. А. Стеклов, исследуя вопрос о разложимости функций по ортогональным
системам, ввел понятие замкнутости системы {e
j
}, означающее, что подпространство, поро-
ждаемое данной системой, совпадает со всем пространством V , и при этом любой элемент
x ∈ V можно представить в виде ряда Фурье
x =
X
k
c
k
e
k
, c
k
= (x, e
k
).
На основании ортогональности системы {e
k
} отсюда следует равенство Парсеваля–Стеклова
kxk =
X
k
|c
k
|
2
.
Оказывается, замкнутость и полнота в гильбертовом пространстве — равносильные понятия.
Замкнутая (полная) ортонормированная система называется ортобазисом гильбертова про-
странства.
Упражнение 1.16. Доказать, что система
1
√
2π
,
1
√
π
sin t,
1
√
π
cos t,
1
√
π
sin 2t, . . .
является ортобазисом в пространстве L
2
(−π, π).
2. Линейные операторы
2.1. Пространство линейных непрерывных операторов
Пусть E, F -вещественные (комплексные) нормированные пространства. Отображение или
оператор A : D → F , D ⊂ E, называется непрерывным в точке x
0
∈ D, если Ax
n
F
→ Ax
0
при условии, что x
n
∈ D, x
n
E
→ x
0
; оператор называется ограниченным, если он ото-
бражает любое ограниченное множе ство из D = D (A) на множество, ограниченное в F .
Оказывается, имеется класс операторов, для которых из непрерывности в одной точке следу-
ет непрерывность на всей области определения D, и при этом непрерывность равносильна
ограниченности.
Определение 6. Оператор A : D → F, D ⊂ E называется линейным, если D-линейное
многообразие в E и ∀α, β ∈ R (C), ∀x, y ∈ D : A (αx + βy) = αAx + βAy.
13
   Для конечной системы x1 , x2 , . . . , xn линейная независимость равносильна условию
Γ(x1 , x2 , . . . , xn ) = det(xk , xj ) 6= 0. Данный определитель называется определителем Грама.
   Пусть {e1 , e2 , . . .} — ортонормированная система в гильбертовом пространстве V . Числа
ck = (x, ek ), k = 1, 2, . . . называются коэффициентами Фурье элемента x ∈ V относительно
системы {ek }. Для любого элемента x ∈ V справедливо неравенство Бесселя:
                                         ∞
                                         X
                                               |ck | ≤ kxk2 .
                                         k=1

Ортонормированная система {ej } называется полной, если из условия ck = (x, ek ) = 0 ∀k сле-
дует, что x = 0. В. А. Стеклов, исследуя вопрос о разложимости функций по ортогональным
системам, ввел понятие замкнутости системы {ej }, означающее, что подпространство, поро-
ждаемое данной системой, совпадает со всем пространством V , и при этом любой элемент
x ∈ V можно представить в виде ряда Фурье
                                      X
                                  x=      ck ek , ck = (x, ek ).
                                         k

На основании ортогональности системы {ek } отсюда следует равенство Парсеваля–Стеклова
                                           X
                                   kxk =      |ck |2 .
                                                    k

Оказывается, замкнутость и полнота в гильбертовом пространстве — равносильные понятия.
Замкнутая (полная) ортонормированная система называется ортобазисом гильбертова про-
странства.
     Упражнение 1.16. Доказать, что система
                                                               
                            1     1       1       1
                           √ , √ sin t, √ cos t, √ sin 2t, . . .
                             2π    π       π       π
является ортобазисом в пространстве L2 (−π, π).


2.     Линейные операторы
2.1.   Пространство линейных непрерывных операторов
   Пусть E, F -вещественные (комплексные) нормированные пространства. Отображение или
                                                                                  F
оператор A : D → F , D ⊂ E, называется непрерывным в точке x0 ∈ D, если Axn → Ax0
                               E
при условии, что xn ∈ D, xn → x0 ; оператор называется ограниченным, если он ото-
бражает любое ограниченное множество из D = D (A) на множество, ограниченное в F .
Оказывается, имеется класс операторов, для которых из непрерывности в одной точке следу-
ет непрерывность на всей области определения D, и при этом непрерывность равносильна
ограниченности.

  Определение 6. Оператор A : D → F, D ⊂ E называется линейным, если D-линейное
многообразие в E и ∀α, β ∈ R (C), ∀x, y ∈ D : A (αx + βy) = αAx + βAy.


                                                  13

Страницы