Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 9 стр.

1.7.   Скалярные произведения и гильбертовы пространства
   Пусть V — линейное пространство над R. Скалярное произведение на V есть симме-
трическая билинейная форма, являющаяся при этом положительно определенной. Каждой
паре элементов x, y ∈ V ставится в соответствие число (x, y), удовлетворяющее аксиомам:
∀x, y, λ ∈ R
  1. (x, y) = (y, x) (симметрия);
  2. (λx, y) = λ(x, y); (x + y, z) = (x, z) + (y, z) (линейность);
  3. (x, x) > 0, если x 6= 0 (положительная определенность).
   Пространство V со скалярным произведением называется евклидовым.
   Замечание. Рассматривая линейное пространство V над полем C комплексных чисел,
следует заменить аксиому 1 в определении скалярного произведения условием (x, y) = (y, x).
Пространство V при этом называется унитарным пространством.
   Фундаментальным свойством скалярного произведения является справедливость неравен-
ства Коши-Буняковского
                                 |(x, y)|2 ≤ (x, x) · (y, y),
которое сразу следует из неотрицательности квадратичной функции

                               f (t) = (x + ty, x + ty) ≥ 0 ∀t ∈ R.

(достаточно положить t = −(x, x)/(y, y), если y 6= 0). Неравенство переходит в равенство
тогда и только тогда, когда x отличается от y скалярным множителем.
   Из неравенства Коши–Буняковского следует, что в евклидовом (и унитарном) пространстве
можно определить норму                        p
                                       kxk = (x, x),
и, таким образом, евклидово пространство будет нормированным (и соответственно метриче-
ским) пространством.
   Наличие скалярного произведения позволяет определить угол между ненулевыми элемен-
тами евклидова пространства x, y; ϕ = (dx, y), если ϕ = arccos{(x, y)/(kxk·kyk)}. В частности,
элементы x и y из V называются ортогональными (x⊥y), если (x, y) = 0; множество z ∈ V
таких, что (z, x) = 0 ∀x ∈ M ⊂ V , обозначается M ⊥ (перпендикуляр к M ).

   Определение 5. Евклидово (унитарное) пространство V называется гильбертовым, если
оно полное по норме, определяемой скалярным произведением.

   Таким образом гильбертово пространство является банаховым, т. е. полным нормирован-
ным пространством.
   Замечание. Нормированное пространство можно сделать евклидовым в том и только в том
случае, если в нем выполняется равенство «параллелограммa»
                       kx − yk2 + kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) ∀x, y ∈ V,

при этом скалярное произведение имеет вид:
                                        1
                                (x, y) = (kx + yk2 − kx − yk2 ).
                                        4

                                                11