Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 8 стр.

  5. Базисом линейного многообразия L ⊂ E называется множество линейно независимых
                                                                                             n
                                                                                             X
     элементов x1 , x2 , . . . , xn ⊂ L таких, что ∀x ∈ L ∃ci ∈ R, i = 1, 2, . . . , n : x =   ci xi .
                                                                                             i=1
    Числа ci называются координатами элемента x в данном базисе; число n называется
    размерностью L, n = dim L; L называется n-мерным многообразием. Если ∀n ∈ N в L
    можно найти n линейно независимых элементов, то L называется бесконечномерным
    линейным многообразием, dim L = ∞.
  6. Отрезком, соединяющим точки x, y ∈ E, называется множество
                            [x, y] = {αx + βy : α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.
    Множество A ⊂ E называется выпуклым, если [x, y] ⊂ A ∀x, y ∈ A.
    Соединение алгебраической структуры линейного пространства и метрических свойств
    элементов, определяемых нормой, приводит к понятию подпространства, которое есть
    просто замкнутое линейное многообразие. Заметим, что в случае если L — линейное
    многообразие, n = dim L < ∞, то L = L, то есть L — подпространство. Для бесконеч-
    номерных линейных многообразий равенство L = L может не иметь место, то есть не
    все линейные многообразия являются подпространствами. Если L — подпространство
    пространства E, dim L = ∞, то последовательность линейно независимых элементов
    {xi }∞                                                            ∞
         i=1 ⊂ L называется счетным базисом L, если ∀x ∈ L ∃{ci }i=1 ⊂ R:
                            X                     n
                                                  X
                       x=       ci xi , т.е. kx −   ci xi k → 0 при n → ∞.
                                                   i=1

   Упражнение 1.11. Пусть L — множество всех многочленов степени не больше n, опреде-
ленных на [a, b]. Показать, что L — подпространство в C[a, b]. Найти его базис.
  Упражнение 1.12. Образует ли подпространство в C[a, b] множество всех многочленов?
  Упражнение 1.13. Доказать, что шар в нормированном пространстве не может содер-
жать ненулевого линейного многообразия.
   В одном и том же линейном пространстве E можно по-разному определять норму элемента
x ∈ E. Две нормы kxk1 и kxk2 называются эквивалентными, если: ∃α, β > 0, αkxk1 ≤ kxk2 ≤
βkxk2 ∀x ∈ E.
   В этом случае из сходимости по одной норме следует сходимость по другой норме, а если
по одной из этих норм E является полным (т.е. банаховым), то E является банаховым и по
другой (из эквивалентных) норме. Отметим также, что в конечномерном пространстве все
нормы эквивалентны.
   Вложение нормированного пространства X в нормированное пространство Y, X ⊂ Y на-
зывается непрерывным, если kxkY ≤ γkxkX ∀x ∈ X, где γ не зависит от x. Если при этом
ограниченное в X множество будет предкомпактным в Y , то вложение называется компакт-
ным.
   В общем случае в нормированных пространствах неопределено понятие угла между эле-
ментами и, соответственно, ортогональности элементов. Тем не менее справедлив следующий
результат о существовании «почти перпендикуляра» к подпространству L ⊂ E, L 6= E:
∀ε > 0 ∃y ∈ E, kyk = 1,
                                 kx − yk > 1 − ε ∀x ∈ L.
(y ∈ E — «почти перпендикуляр»).

                                                 10