Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Упражнение 1.14. Доказать, что скалярное произведение есть непрерывная функция от-
носительно сходимости по норме.
Приведем примеры гильбертовых пространств.
1. R
n
. (x, y) =
n
X
k=1
x
k
y
k
, где x = {x
k
}
n
1
, y = {y
k
}
n
1
.
2. l
2
. (x, y) =
∞
X
k=1
x
k
y
k
, где x = (x
1
, x
2
, . . .), y = (y
1
, y
2
, . . .).
3. L
2
(Ω), где Ω ⊂ R
n
— открытая область. (u, v) =
Z
Ω
u · vdx (интеграл Лебега).
Если M — замкнутое выпуклое множе ство в гильбертовом прост ранстве V , то для любого
элемента x ∈ V существует единственный элемент y ∈ M такой, что
ρ(x, M) = kx − yk =
p
(x − y, x − y).
Элемент y называется проекцией элемента x на множество M, y = P
M
(x). Очевидно, что
условие x = P
M
(x) равносильно тому, что x ∈ M. Выбрав в качестве M подпро странство
H ⊂ V , заключаем, что любой элемент x ∈ V допускает единственное представление в виде:
x = u + v, u ∈ H, v ∈ H
⊥
,
при этом u = P
H
(x), v = P
H
⊥
(x) и справедлива теорема Пифагора
kxk
2
= ku k
2
+ kvk
2
.
Упражнение 1.15. Доказать, что если H — подпространство гильбертова пространства
Y , то H
⊥
также будет подпространством.
Равенство x = P
H
(x) + P
H
⊥
(x) ∀x ∈ V часто записывают в виде V = H ⊕ H
⊥
и говорят, что
V есть ортогональная сумма подпространств H и H
⊥
. Напомним, что система элементов
{x
1
, x
2
, . . .} ⊂ V называется
1. линейно независимой, если ∀n ∈ N система {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} линейно независима;
2. ортогональной, если (x
k
, x
j
) = 0 при k 6= j, x
k
6= 0.;
3. ортонормированной, если (x
k
, x
j
) =
1, k = j,
0, k 6= j.
Оказывается, эти понятия тесно связаны — ортогональная система вс егда линейно незави-
сима и, обратно, любую линейно независимую систему можно ортонормировать с помощью
процесса ортогонализации Шмидта. Полагаем e
1
= x
1
/kx
1
k. Далее, если
q
k
= x
k
−
k−1
X
j=1
(x
k
, e
j
)e
j
, k = 2, 3, . . . ,
то e
k
= q
k
/kq
k
k.
12
   Упражнение 1.14. Доказать, что скалярное произведение есть непрерывная функция от-
носительно сходимости по норме.

   Приведем примеры гильбертовых пространств.
                        n
                        X
        n
  1. R .     (x, y) =         xk yk , где x = {xk }n1 , y = {yk }n1 .
                        k=1
                       ∞
                       X
  2. l2 .   (x, y) =         xk yk , где x = (x1 , x2 , . . .), y = (y1 , y2 , . . .).
                       k=1
                                                                           Z
        2                     n
  3. L (Ω), где Ω ⊂ R — открытая область. (u, v) =                               u · vdx (интеграл Лебега).
                                                                             Ω

   Если M — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве V , то для любого
элемента x ∈ V существует единственный элемент y ∈ M такой, что
                                             p
                         ρ(x, M ) = kx − yk = (x − y, x − y).

   Элемент y называется проекцией элемента x на множество M, y = PM (x). Очевидно, что
условие x = PM (x) равносильно тому, что x ∈ M . Выбрав в качестве M подпространство
H ⊂ V , заключаем, что любой элемент x ∈ V допускает единственное представление в виде:

                                             x = u + v, u ∈ H, v ∈ H ⊥ ,
при этом u = PH (x), v = PH ⊥ (x) и справедлива теорема Пифагора

                                                  kxk2 = kuk2 + kvk2 .

    Упражнение 1.15. Доказать, что если H — подпространство гильбертова пространства
Y , то H ⊥ также будет подпространством.
Равенство x = PH (x) + PH ⊥ (x) ∀x ∈ V часто записывают в виде V = H ⊕ H ⊥ и говорят, что
V есть ортогональная сумма подпространств H и H ⊥ . Напомним, что система элементов
{x1 , x2 , . . .} ⊂ V называется
  1. линейно независимой, если ∀n ∈ N система {x1 , x2 , . . . , xn } линейно независима;
                                              6 j, xk 6= 0.;
  2. ортогональной, если (xk , xj ) = 0 при k =
                                           
                                               1, k = j,
  3. ортонормированной, если (xk , xj ) =
                                               0, k 6= j.
Оказывается, эти понятия тесно связаны — ортогональная система всегда линейно незави-
сима и, обратно, любую линейно независимую систему можно ортонормировать с помощью
процесса ортогонализации Шмидта. Полагаем e1 = x1 /kx1 k. Далее, если
                                                    k−1
                                                    X
                                      qk = x k −           (xk , ej )ej , k = 2, 3, . . . ,
                                                     j=1

то ek = qk /kqk k.


                                                                12

Страницы