Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1.6. Как линейное пространство сделать нормированным?
Рассмотрим линейное (векторное) пространство с умножением на вещественные числа.
Понятие линейного про странства носит чисто алгебраический характер. Для того, чтобы из-
учать в этом пространстве задачи, связанные со сходимостью элементов, нужно определить
расстояние между элементами, т. е. ввести метрику.
Определение 4. Линейное пространство E над полем R называется нормированным про-
странством, если определено отображение:
∀x ∈ E 7→ kxk ≥ 0 такое, что
1. kxk = 0 ⇔ x = 0 (условие тривиальности);
2. kλxk = |λ| ·kxk ∀λ ∈ R (условие однородности);
3. kx + y k ≤ kxk + kyk (неравенство треугольника).
Число kxk называется нормой элемента (точки, вектора) x ∈ E.
Любое нормированное пространство является метрическим, если определить метрику:
ρ(x, y) = kx − yk. Поэтому все понятия, определенные в п. 1.1–1.5 для метрических про-
странств используются и в нормированных. Например, сходимость по норме (или сильная
сходимость) последовательности x
n
⊂ E к элементу x ∈ E имеет место, если kx
n
− xk → 0,
при n → ∞.
Если нормированное пространство является полным в смысле сильной сходимости, то оно
называется банаховым пространством (или пространством Банаха). Метрические простран-
ства, приведенные в п. 1.2, являются банаховыми по соответствующим нормам:
1. R
n
. kxk
R
n
= (
P
n
1
x
2
i
)
1/2
;
2. l
p
. kxk
l
p
= (
P
∞
1
|x
i
|
p
))
1/p
, p ≥ 1 ;
3. C[a, b]. kxk
C[a,b]
= max
a≤t≤b
|x(t)| ;
4. L
p
(a, b). kxk
L
p
(a,b)
=
Z
b
a
|x(t)|
p
dt
1/p
, p ≥ 1.
Так как нормированное пространство E фактически является линейным пространством, то
для E имеют смысл понятия, определённые для линейных пространств. Например:
1. Пусть A ⊂ E, B ⊂ E. A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} ⊂ E
2. Множество L ⊂ E называется линейным многообразием, если ∀x, y ∈ L, ∀λ ∈ R:
x + y ∈ L, λ · x ∈ L.
3. Множество x
0
+ L, где x
0
∈ E, L — линейное многообразие, называется аффинным
многообразием.
4. Элементы x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . линейного пространства E называются линейно независи-
мыми, если ∀n ∈ N
n
X
i=1
c
i
x
i
= 0, c
i
∈ R ⇒ c
i
= 0, i = 1, 2, . . . , n.
В противном случае элементы x
1
, x
2
, . . . , x
n
будут линейно зависимыми.
9
1.6.   Как линейное пространство сделать нормированным?
   Рассмотрим линейное (векторное) пространство с умножением на вещественные числа.
Понятие линейного пространства носит чисто алгебраический характер. Для того, чтобы из-
учать в этом пространстве задачи, связанные со сходимостью элементов, нужно определить
расстояние между элементами, т. е. ввести метрику.
  Определение 4. Линейное пространство E над полем R называется нормированным про-
странством, если определено отображение:
                                         ∀x ∈ E 7→ kxk ≥ 0 такое, что
  1. kxk = 0 ⇔ x = 0 (условие тривиальности);
  2. kλxk = |λ| · kxk ∀λ ∈ R (условие однородности);
  3. kx + yk ≤ kxk + kyk (неравенство треугольника).
Число kxk называется нормой элемента (точки, вектора) x ∈ E.
Любое нормированное пространство является метрическим, если определить метрику:
ρ(x, y) = kx − yk. Поэтому все понятия, определенные в п. 1.1–1.5 для метрических про-
странств используются и в нормированных. Например, сходимость по норме (или сильная
сходимость) последовательности xn ⊂ E к элементу x ∈ E имеет место, если kxn − xk → 0,
при n → ∞.
   Если нормированное пространство является полным в смысле сильной сходимости, то оно
называется банаховым пространством (или пространством Банаха). Метрические простран-
ства, приведенные в п. 1.2, являются банаховыми по соответствующим нормам:
                             1/2
  1. Rn . kxkRn = ( n1 x2i ) ;
                     P

  2. lp . kxklp = ( ∞      p 1/p
                   P
                    1 |xi | ))   , p≥1;
  3. C[a, b]. kxkC[a,b] = max |x(t)| ;
                           a≤t≤b
                               Z        b            1/p
        p                                         p
  4. L (a, b). kxkLp (a,b) =                 |x(t)| dt     , p ≥ 1.
                                     a
   Так как нормированное пространство E фактически является линейным пространством, то
для E имеют смысл понятия, определённые для линейных пространств. Например:
  1. Пусть A ⊂ E, B ⊂ E. A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} ⊂ E
  2. Множество L ⊂ E называется линейным многообразием, если ∀x, y ∈ L, ∀λ ∈ R:
     x + y ∈ L, λ · x ∈ L.
  3. Множество x0 + L, где x0 ∈ E, L — линейное многообразие, называется аффинным
     многообразием.
  4. Элементы x1 , x2 , . . . , xn , . . . линейного пространства E называются линейно независи-
     мыми, если ∀n ∈ N
                                 Xn
                                       ci xi = 0, ci ∈ R ⇒ ci = 0, i = 1, 2, . . . , n.
                               i=1

       В противном случае элементы x1 , x2 , . . . , xn будут линейно зависимыми.

                                                           9

Страницы