Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

4. Открытое множество M ⊂ X: ∀x ∈ M ∃r > 0 B(x, r) ⊂ M, т. е. любая точка множества
M является внутренней точкой и, значит, содержится в M вместе с некоторым шаром.
Для множества M ⊂ X точка a ∈ X называется предельной точкой этого множества,
если в любом шаре B(a, r), r > 0 найдется точка x ∈ M, x 6= a; точка a ∈ M называется
изолированной точкой множества M, е сли найдется ε > 0 такое, что B(a, ε)
T
M = {a}.
Замыканием множества M называется множество M, полученное присоединением к M
всех его предельных точек.
5. Замкнутое множество M ⊂ X: M = M.
6. Множество M ⊂ K плотное в множестве K : K ⊂ M. В частно сти, множество M
называется всюду плотным в пространстве X, если M = X; M нигде не плотно, если
каждый шар пространства X содержит в себе некоторый шар, свободный от точек M.
7. Пространство X называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду плотное
множество.
8. Граница ∂M множества M:
∂M = {x ∈ X : ∀ε > 0, M
T
B(x, ε) 6= ∅, (X \ M)
T
B(x, ε) 6= ∅}.
Упражнение 1.3. Доказать
1. M
S
N = M
S
N;
2. M = M.
Упражнение 1.4. Доказать, что граница ∂M замкнутое множество и при этом ∂M =
∂(X \ M).
Упражнение 1.5. Пусть A, B ⊂ X – замкнутые множества, A
T
B = ∅. Возможно ли,
что ρ(A, B) = 0?
1.4. Сходимость и полнота
Последовательность {x
n
} элементов метрического прост ранства X называется:
1. сходящейся к элементу x ∈ X, если числовая последовательность ρ(x
n
, x) → 0 при
n → ∞, (x = lim
n→∞
x
n
или x
n
→ x);
2. фундаментальной, если ρ(x
n
, x
m
) → 0 при n, m → ∞.
Пример 1.5. Доказать, что сходящаяся последовательность является фундаментальной.
Решение. Пусть последовательность {x
n
} сходится к точке x. Тогда на основании неравенства
треугольника заключаем, что
ρ(x
n
, x
m
) ≤ ρ(x
n
, x) + ρ(x
m
, x) → 0.
Последнее означает фундаментальность последовательности.
Определение 2. Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фун-
даментальная последовательность сходится.
7
  4. Открытое множество M ⊂ X: ∀x ∈ M ∃r > 0 B(x, r) ⊂ M , т. е. любая точка множества
     M является внутренней точкой и, значит, содержится в M вместе с некоторым шаром.
     Для множества M ⊂ X точка a ∈ X называется предельной точкой этого множества,
     если в любом шаре B(a, r), r > 0 найдется точка x ∈ M, x 6= a; точка a ∈ MTназывается
     изолированной точкой множества M , если найдется ε > 0 такое, что B(a, ε) M = {a}.
     Замыканием множества M называется множество M , полученное присоединением к M
     всех его предельных точек.
  5. Замкнутое множество M ⊂ X: M = M .
  6. Множество M ⊂ K плотное в множестве K : K ⊂ M . В частности, множество M
     называется всюду плотным в пространстве X, если M = X; M нигде не плотно, если
     каждый шар пространства X содержит в себе некоторый шар, свободный от точек M .
  7. Пространство X называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду плотное
     множество.
  8. Граница ∂M множества MT:                      T
     ∂M = {x ∈ X : ∀ε > 0, M B(x, ε) 6= ∅, (X \ M ) B(x, ε) 6= ∅}.

   Упражнение 1.3. Доказать
       S       S
  1. M N = M N ;

  2. M = M .

  Упражнение 1.4. Доказать, что граница ∂M замкнутое множество и при этом ∂M =
∂(X \ M ).
                                                          T
  Упражнение 1.5. Пусть A, B ⊂ X – замкнутые множества, A B = ∅. Возможно ли,
что ρ(A, B) = 0?

1.4.   Сходимость и полнота
   Последовательность {xn } элементов метрического пространства X называется:
  1. сходящейся к элементу x ∈ X, если числовая последовательность ρ(xn , x) → 0 при
     n → ∞, (x = lim xn или xn → x);
                 n→∞

  2. фундаментальной, если ρ(xn , xm ) → 0 при n, m → ∞.

   Пример 1.5. Доказать, что сходящаяся последовательность является фундаментальной.
Решение. Пусть последовательность {xn } сходится к точке x. Тогда на основании неравенства
треугольника заключаем, что

                           ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , x) + ρ(xm , x) → 0.

Последнее означает фундаментальность последовательности. 
  Определение 2. Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фун-
даментальная последовательность сходится.


                                              7

Страницы