Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

2. Пространство p-суммируемых последовательностей:
l
p
=
(
x : x = (x
1
, x
2
, . . .),
∞
X
1
|x
i
|
p
< ∞,
ρ(x, y) =
∞
X
1
|x
i
− y
i
|
p
1/p
, p ≥ 1
)
.
3. Пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций:
C[a, b] =
(
x = x(t), t ∈ [a, b] – непрерывная функция,
ρ(x, y) = max
[a,b]
|x(t) − y(t)|
)
.
4. Пространство Лебега с показателем p:
L
p
(a, b) =
(
x = x(t), t ∈ (a, b),
где x(t) — измеримая на (a, b) функция, интегрируемая по Лебегу со степенью p ≥
1, ρ(x, y) =
Z
b
a
|x(t) − y(t)|
p
1/p
)
.
Упражнение 1.1. Проверить справедливость аксиом метрики для пространств R
n
, l
p
,
C[a, b], L
p
(a, b).
Упражнение 1.2. Проверить справедливость аксиом метрики ρ(x, y) = sup
t∈T
|x(t) − y(t)|
для множества M(T ) всех ограниченных функций, определенных на множестве T .
Пример 1.4. Каким условиям должна удовлетворять функция f : R → R, чтобы на
вещественной прямой можно было задать метрику ρ(x, y) = |f (x) −f(y)|?
Решение. Аксиома треугольника справелива, очевидно, для произвольной функции f. Для
справедливости аксиомы тождества необходимо и достаточно, чтобы из условия f(x) = f(y)
вытекало x = y, т.е. чтобы функция f была обратимой.
1.3. Mножества в метрических пространствах
1. Открытый шар: B(a, r) = {x ∈ X : ρ(x, a) < r}.
2. Замкнутый шар: B(a, r) = {x ∈ X : ρ(x, a) ≤ r}.
3. Ограниченное множество M: существует шар B(a, r), такой, что M ⊂ B(a, r); чи-
сло diam M = sup {ρ(x, y) : x, y ∈ M} называется диаметром M; числа ρ(x, M) =
inf {ρ(x, y) : y ∈ M}, ρ(M, K) = inf {ρ(x, y) : x ∈ M, y ∈ K} называются расстоянием
от точки x до множества M и расстоянием между множествами M и K соответ-
ственно.
6
  2. Пространство p-суммируемых последовательностей:
                              (                           ∞
                                                          X
                        lp =   x : x = (x1 , x2 , . . .),   |xi |p < ∞,
                                                                        1
                                                   ∞
                                                                                    )
                                                  X                    1/p
                                    ρ(x, y) =             |xi − yi |p          , p≥1 .
                                                      1

  3. Пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций:
                            (
                       C[a, b] =    x = x(t), t ∈ [a, b] – непрерывная функция,
                                                                        )
                                   ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)| .
                                              [a,b]


  4. Пространство Лебега с показателем p:
                                        (
                                    Lp (a, b) =       x = x(t), t ∈ (a, b),

    где x(t) — измеримая на (a, b) функция,  интегрируемая по Лебегу со степенью p ≥
                 Z b                1/p )
    1, ρ(x, y) =      |x(t) − y(t)|p       .
                   a

  Упражнение 1.1. Проверить справедливость аксиом метрики для пространств Rn , lp ,
C[a, b], Lp (a, b).
  Упражнение 1.2. Проверить справедливость аксиом метрики ρ(x, y) = sup |x(t) − y(t)|
                                                                                         t∈T
для множества M (T ) всех ограниченных функций, определенных на множестве T .
  Пример 1.4. Каким условиям должна удовлетворять функция f : R → R, чтобы на
вещественной прямой можно было задать метрику ρ(x, y) = |f (x) − f (y)|?
Решение. Аксиома треугольника справелива, очевидно, для произвольной функции f . Для
справедливости аксиомы тождества необходимо и достаточно, чтобы из условия f (x) = f (y)
вытекало x = y, т.е. чтобы функция f была обратимой.

1.3. Mножества в метрических пространствах
  1. Открытый шар: B(a, r) = {x ∈ X : ρ(x, a) < r}.
  2. Замкнутый шар: B(a, r) = {x ∈ X : ρ(x, a) ≤ r}.
  3. Ограниченное множество M : существует шар B(a, r), такой, что M ⊂ B(a, r); чи-
     сло diam M = sup {ρ(x, y) : x, y ∈ M } называется диаметром M ; числа ρ(x, M ) =
     inf {ρ(x, y) : y ∈ M }, ρ(M, K) = inf {ρ(x, y) : x ∈ M, y ∈ K} называются расстоянием
     от точки x до множества M и расстоянием между множествами M и K соответ-
     ственно.

                                                      6

Страницы