Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Одно и то же множество с разными метриками может порождать полное или неполное ме-
трическое пространство. Пространство будет полным тогда и только тогда, когда для после-
довательности замкнутых множеств, вложенных друг в друга, диаметры которых стремятся к
нулю, всегда найдется единственная точка, принадлежащая всем этим множествам.
Упражнение 1.6. Доказать, что фундаментальная последовательность ограничена.
Упражнение 1.7. Пусть x
n
∈ X и числовой ряд
∞
X
n=1
ρ(x
n
, x
n+1
) сходится. Доказать, что
{x
n
} фундаментальная. Верно ли обратное?
Замечание. Пространства, приведенные в п. 1.2 , являются полными. Примером неполного
метрического пространства может служить множество Q рациональных чисел с обычным
расстоянием ρ(x
1
, x
2
) = |x
1
− x
2
|. Последовательность x
n
= (1 + 1/n)
n
∈ Q является фунда-
мента льной, однако lim x
n
= e не является рациональным числом.
1.5. Компактность
В XIX веке чешский математик Б. Больцано заметил, что всяко е ограниченное множество
точек числовой прямой имеет хотя бы одну предельную точку. Идея выделения сходящейся
последовательно сти из некоторых множеств привела к следующему понятию.
Определение 3. Множество K метрического пространства X называется компактным,
если из любой бесконечной последовательности {x
n
} ⊂ K можно выбрать подпоследова-
тельность, сходящуюся к элементу x ∈ K.
Упражнение 1.8. Доказать, что компактное множество замкнуто и ограничено.
Упражнение 1.9. Привести пример ограниченного и замкнутого множества в C[0, 1], не
являющегося компактным.
Множество M ⊂ X называется относительно компактным, если M – компактное множество.
Множество A образует ε-сеть для множества M, если ∀x ∈ M ∃ y ∈ A такой, что ρ(x, y) < ε.
Если ∀ε > 0 множество M имеет конечную ε-сеть, то M называется вполне ограниченным.
Оказывается, что в полном метрическом пространстве компактность M равносильна вполне
ограниченности M. Пусть Ω ⊂ R
d
— замкнутое ограниченное множество; через C(Ω) oбо-
значаем пространство непрерывных на Ω функций, ρ(x, y) = max
t∈Ω
|x(t) − y(t)|. Множество
M ⊂ C(Ω) называется равномерно ограниченным, если ∃α > 0 : |x(t)| ≤ α ∀x ∈ M при
всех t ∈ Ω. При этом постоянная α не зависит от x(t). Равностепенная непрерывность мно-
жества M означает, что ∀ε > 0 ∃δ > 0, зависящая только от ε: ∀t
1,2
∈ Ω, |t
1
− t
2
| < δ ⇒
|x(t
1
) − x(t
2
)| < ε ∀x ∈ M. Подчеркнем, что δ не зависит ни от выбора t
1
, t
2
, ни от функции
x = x(t) ∈ M. Относительная компактность множества K ⊂ C(Ω) равносильна равномерной
ограниченности и равностепенной непрерывности K.
Упражнение 1.10. Доказать, что множество
K =
x = x(t) : x(t) = e
−αt
, t ∈ [0, 1], α ∈ [1, 2]
вполне ограничено в C[0, 1].
Типичным примером компактного множества в C(Ω) является следующее:
K =
x = x(t) ∈ C(Ω) : |x(t)| ≤ α ∀t ∈ Ω, |∇x(t)| ≤ β ∀t ∈ Ω
.
8
Одно и то же множество с разными метриками может порождать полное или неполное ме-
трическое пространство. Пространство будет полным тогда и только тогда, когда для после-
довательности замкнутых множеств, вложенных друг в друга, диаметры которых стремятся к
нулю, всегда найдется единственная точка, принадлежащая всем этим множествам.
   Упражнение 1.6. Доказать, что фундаментальная последовательность ограничена.
                                               ∞
                                               X
   Упражнение 1.7. Пусть xn ∈ X и числовой ряд    ρ(xn , xn+1 ) сходится. Доказать, что
                                                     n=1
{xn } фундаментальная. Верно ли обратное?
Замечание. Пространства, приведенные в п. 1.2 , являются полными. Примером неполного
метрического пространства может служить множество Q рациональных чисел с обычным
расстоянием ρ(x1 , x2 ) = |x1 − x2 |. Последовательность xn = (1 + 1/n)n ∈ Q является фунда-
ментальной, однако lim xn = e не является рациональным числом.

1.5.   Компактность
   В XIX веке чешский математик Б. Больцано заметил, что всякое ограниченное множество
точек числовой прямой имеет хотя бы одну предельную точку. Идея выделения сходящейся
последовательности из некоторых множеств привела к следующему понятию.
   Определение 3. Множество K метрического пространства X называется компактным,
если из любой бесконечной последовательности {xn } ⊂ K можно выбрать подпоследова-
тельность, сходящуюся к элементу x ∈ K.
   Упражнение 1.8. Доказать, что компактное множество замкнуто и ограничено.
   Упражнение 1.9. Привести пример ограниченного и замкнутого множества в C[0, 1], не
являющегося компактным.
Множество M ⊂ X называется относительно компактным, если M – компактное множество.
Множество A образует ε-сеть для множества M , если ∀x ∈ M ∃ y ∈ A такой, что ρ(x, y) < ε.
Если ∀ε > 0 множество M имеет конечную ε-сеть, то M называется вполне ограниченным.
Оказывается, что в полном метрическом пространстве компактность M равносильна вполне
ограниченности M . Пусть Ω ⊂ Rd — замкнутое ограниченное множество; через C(Ω) oбо-
значаем пространство непрерывных на Ω функций, ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)|. Множество
                                                                  t∈Ω
M ⊂ C(Ω) называется равномерно ограниченным, если ∃α > 0 : |x(t)| ≤ α ∀x ∈ M при
всех t ∈ Ω. При этом постоянная α не зависит от x(t). Равностепенная непрерывность мно-
жества M означает, что ∀ε > 0 ∃δ > 0, зависящая только от ε: ∀t1,2 ∈ Ω, |t1 − t2 | < δ ⇒
|x(t1 ) − x(t2 )| < ε ∀x ∈ M . Подчеркнем, что δ не зависит ни от выбора t1 , t2 , ни от функции
x = x(t) ∈ M . Относительная компактность множества K ⊂ C(Ω) равносильна равномерной
ограниченности и равностепенной непрерывности K.
   Упражнение 1.10. Доказать, что множество
                    K = x = x(t) : x(t) = e−αt , t ∈ [0, 1], α ∈ [1, 2]
                        

вполне ограничено в C[0, 1].
Типичным примером компактного множества в C(Ω) является следующее:
                
           K = x = x(t) ∈ C(Ω) : |x(t)| ≤ α ∀t ∈ Ω, |∇x(t)| ≤ β ∀t ∈ Ω .

                                               8

Страницы