Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства
1.1. Что такое метрика?
Определение 1. Если каждой паре элементов x, y некоторого множества X поставлено
в соответствие число ρ(x, y) ∈ R, называемое расстоянием между элементами x и y так,
что
1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y , z) ∀x, y, z ∈ X,
то множество X называется метрическим пространством с метрикой ρ(x, y).
Свойство 1 называется аксиомой тождества, а свойство 2 аксиомой треугольника.
Пример 1.1. Показать, что из аксиом 1, 2 вытекает свойство (аксиома симметрии)
3. ρ(x, y) = ρ(y, x) ≥ 0 ∀x, y ∈ X.
Решение. Положим в аксиоме треугольника z = x. Тогда из аксиомы тождества вытекает
ρ(x, y) ≤ ρ(y, x) ∀x, y ∈ X. Меняя местами x и y получаем симметричность метрики. Если в
аксиоме 2 положить y = x получим неотрицательность метрики.
Метрическое прост ранство определяется выбором множества X и метрики ρ; одно и то же
множество может порождать различные метрические пространства при введении различных
метрик. Элементами метрического пространства могут быть объекты различной природы:
числа, векторы, функции, студенты (если смоделировать группу студентов как некоторое мно-
жество) и т. п. Эти элементы называются точками метрического пространства.
Пример 1.2. Пусть X — произвольное множество. Доказать, что формула
ρ(x, y) =
0 при x = y,
1 при x 6= y
определяет метрику на X ( X – дискретное пространство).
Решение. Выполнение аксиомы 1 очевидно. Проверим справедливость неравенства треуголь-
ника. Последнее не выполняется, если ρ(x, y) = 1, x 6= y, а при этом ρ(x, z) + ρ(y, z) = 0.
Однако последнее возможно если только ρ(x, z) = ρ(y, z) = 0 и тогда x = z и y = z, что
противоречит условию x 6= y.
Пример 1.3. Пусть ρ(x, y) — метрика на X. Доказать, что функции
1. ρ
1
(x, y) = ρ(x, y)/(1 + ρ(x, y )),
2. ρ
2
(x, y) = ln(1 + ρ(x, y)),
3. ρ
3
(x, y) = min{1, ρ(x, y)}
также являются метриками.
1.2. Примеры метрических пространств
1. Евклидово пространство размерности n ≥ 1:
R
n
=
(
x : x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), x
k
∈ R, k = 1, n,
ρ(x, y) =
n
X
1
(x
i
− y
i
)
2
1/2
)
.
5
1. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства
1.1.   Что такое метрика?
   Определение 1. Если каждой паре элементов x, y некоторого множества X поставлено
в соответствие число ρ(x, y) ∈ R, называемое расстоянием между элементами x и y так,
что
   1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
   2. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X,
то множество X называется метрическим пространством с метрикой ρ(x, y).
Свойство 1 называется аксиомой тождества, а свойство 2 аксиомой треугольника.
   Пример 1.1. Показать, что из аксиом 1, 2 вытекает свойство (аксиома симметрии)
3. ρ(x, y) = ρ(y, x) ≥ 0 ∀x, y ∈ X.
Решение. Положим в аксиоме треугольника z = x. Тогда из аксиомы тождества вытекает
ρ(x, y) ≤ ρ(y, x) ∀x, y ∈ X. Меняя местами x и y получаем симметричность метрики. Если в
аксиоме 2 положить y = x получим неотрицательность метрики. 
   Метрическое пространство определяется выбором множества X и метрики ρ; одно и то же
множество может порождать различные метрические пространства при введении различных
метрик. Элементами метрического пространства могут быть объекты различной природы:
числа, векторы, функции, студенты (если смоделировать группу студентов как некоторое мно-
жество) и т. п. Эти элементы называются точками метрического пространства.
   Пример 1.2. Пусть X — произвольное множество. Доказать, что формула
                                        
                                          0 при x = y,
                              ρ(x, y) =
                                          1 при x 6= y
определяет метрику на X ( X – дискретное пространство).
Решение. Выполнение аксиомы 1 очевидно. Проверим справедливость неравенства треуголь-
ника. Последнее не выполняется, если ρ(x, y) = 1, x 6= y, а при этом ρ(x, z) + ρ(y, z) = 0.
Однако последнее возможно если только ρ(x, z) = ρ(y, z) = 0 и тогда x = z и y = z, что
противоречит условию x 6= y. 
   Пример 1.3. Пусть ρ(x, y) — метрика на X. Доказать, что функции
  1. ρ1 (x, y) = ρ(x, y)/(1 + ρ(x, y)),
  2. ρ2 (x, y) = ln(1 + ρ(x, y)),
  3. ρ3 (x, y) = min{1, ρ(x, y)}
также являются метриками.

1.2.   Примеры метрических пространств
  1. Евклидово пространство размерности n ≥ 1:
                            (
                         Rn =        x : x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xk ∈ R, k = 1, n,

                                                 n
                                                                          )
                                                X                 1/2
                                    ρ(x, y) =        (xi − yi )2          .
                                                 1


                                                      5

Страницы