Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 13 стр.

   Оператор Ã называется продолжением оператора A по непрерывности.
   Множество нулей оператора A : D → F называется ядром оператора A, ker A = {x ∈ D :
Ax = 0}.
   Множество A(D) = Im(A) значений оператора A может, вообще говоря, и не совпадать со
всем пространством F .
  Упражнение 2.3. Пусть A, B ∈ L(E, F ), A 6= 0, B 6= 0. Im(A) ∩ Im(B) = 0. Доказать, что
A и B линейно независимые элементы пространства L(E, F ).
   В пространстве L(E, E) = L(E) можно определить операцию умножения:
                               (A · B)x = A(Bx) ∀ x ∈ E.
Таким образом, в L(E) степени оператора находятся по формулам
                     A0 x = Ix = x, An x = A(An−1 x) ∀ x ∈ E, n ∈ N.
   Упражнение 2.4. Доказать, что ∀A, B ∈ L(E) kA · Bk ≤ kAk · kBk, kAn k ≤ kAkn , n ∈ N.

2.2.   Обратный оператор
   Пусть оператор A : E → F (необязательно линейный) обладает тем свойством, что каждому
y из множества значений Im(A) ⊂ F соответствует только один элемент x ∈ E, для которого
y = Ax, т.е. решение уравнения Ax = y единственно.
Это соответствие рассматривается как оператор B : Im(A) → E, и, в силу определения, B ·
Ax = x ∀ x ∈ E или B · A = IE , где IE –единичный (тождественный) оператор в пространстве
E. Оператор B называется левым обратным к A.
   Упражнение 2.5. Пусть A : E → F – линейный оператор, ker A = {0}. Тогда существует
линейный левый обратный оператор. Доказать.
Если Im(A) = F , т.е. оператор A устанавливает взаимно однозначное соответствие между
E и F , то оператор B, определенный на всем F , называется обратным оператором к A и
обозначается A−1 ; A−1 Ax = x ∀x ∈ E, AA−1 y = y ∀y ∈ F .
Рассмотрим далее линейные операторы в случае, когда E, F нормированные пространства.
Линейный оператор A : E → F является обратимым, если Im(A) = F , ker A = {0}, непре-
рывно обратимым, если ∃A−1 ∈ L(F, E). Критерием непрерывной обратимости является
условие:
                                kAxkF ≥ mkxkE ∀x ∈ E,                              (∗)
где постоянная m > 0 не зависит от x.
   Упражнение 2.6. Пусть выполняется условие (*). Доказать, что kA−1 k ≤   1
                                                                           m
                                                                             .
   Одним из ”китов” теории банаховых пространств является следующий факт.
   Принцип открытости отображения. Пусть E и F – банаховы пространства, A ∈
L(E, F ), Im(A) = F , M ⊂ E – открытое множество. Тогда множество A(M ) ⊂ F также
открытое.
Другими словами, при непрерывном линейном отображении банахова пространства E на ба-
нахово пространство F образ любого открытого множества есть снова открытое множество.
Из этого принципа вытекает важное следствие (теорема Банаха о гомеоморфизме).

                                           15