Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

3. Задачи и упражнения
3.1. Пространства
Вариант 1.
1. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой
ρ(x, y) =| arctg(x) − arctg(y) |?
2. Сходится ли в C[0, 1] последовательность x
n
(t) = t
n
− t
n+1
?
3. Доказать, что гильбертово пространство строго нормировано, т.е. из условия
kx + yk = kxk + kyk следует при x 6= 0, y 6= 0, что y = λx, где λ > 0.
Вариант 2.
1. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой
ρ(x, y) =| e
x
− e
y
|?
2. Сходится ли в C[0, 1] последовательность x
n
(t) = t
n
− t
2n
?
3. Пусть в гильбертовом пространстве: kx
n
k ≤ 1, ky
n
k ≤ 1, kx
n
+ y
n
k → 2 при n → ∞.
Доказать, что kx
n
− y
n
k → 0.
Вариант 3.
1. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой
ρ(x, y) =| x
3
− y
3
|?
2. Сходится ли в C[0, 1] последовательность x
n
(t) =
t
n+1
n+1
−
t
n+2
n+2
?
3. Доказать, что условие kxk ≤ kx − yk ∀y ∈ L эквивалентно ортогональности элемента x
гильбертова пространства H подпространству L ⊂ H.
Вариант 4.
1. Доказать, что множество {sin(nt)}
∞
n=1
⊂ L
2
(−π; π) замкнуто и ограничено.
2. Образует ли подпространство в C[0, 1] множество монотонных функций?
3. Вычислить углы треугольника, образованного точками в L
2
(−1, 1) : f
1
(t) = 0, f
2
(t) =
1, f
3
(t) = t.
Вариант 5.
1. Будет ли компактным в C[0, 1] множество
M = {y(t) =
Z
1
0
e
t+τ
x(τ)dτ, x(t) ∈ C[0, 1]}?
2. Образует ли подпространство в C[0, 1] множество функций
L = {x(t) :
Z
1
0
x(t)dt = 0}?
3. Доказать, что для ортогональной системы {x
k
} в гильбертовом пространстве следующие
условия равносильны:
a)
P
k
x
k
сильно сходится;
б)
P
k
kx
k
k сходится.
17
3.     Задачи и упражнения
3.1.   Пространства
   Вариант 1.
1. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой
ρ(x, y) =| arctg(x) − arctg(y) |?
2. Сходится ли в C[0, 1] последовательность xn (t) = tn − tn+1 ?
3. Доказать, что гильбертово пространство строго нормировано, т.е. из условия
kx + yk = kxk + kyk следует при x 6= 0, y 6= 0, что y = λx, где λ > 0.

   Вариант 2.
1. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой
ρ(x, y) =| ex − ey |?
2. Сходится ли в C[0, 1] последовательность xn (t) = tn − t2n ?
3. Пусть в гильбертовом пространстве: kxn k ≤ 1, kyn k ≤ 1, kxn + yn k → 2 при n → ∞.
Доказать, что kxn − yn k → 0.

   Вариант 3.
1. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой
ρ(x, y) =| x3 − y 3 |?
                                                      n+1    n+2
2. Сходится ли в C[0, 1] последовательность xn (t) = tn+1 − tn+2 ?
3. Доказать, что условие kxk ≤ kx − yk ∀y ∈ L эквивалентно ортогональности элемента x
гильбертова пространства H подпространству L ⊂ H.

    Вариант 4.
1. Доказать, что множество {sin(nt)}∞      2
                                    n=1 ⊂ L (−π; π) замкнуто и ограничено.
2. Образует ли подпространство в C[0, 1] множество монотонных функций?
3. Вычислить углы треугольника, образованного точками в L2 (−1, 1) : f1 (t) = 0, f2 (t) =
1, f3 (t) = t.

   Вариант 5.
1. Будет ли компактным в C[0, 1] множество
                                     Z 1
                       M = {y(t) =       et+τ x(τ )dτ, x(t) ∈ C[0, 1]}?
                                        0

2. Образует ли подпространство в C[0, 1] множество функций
                                           Z 1
                               L = {x(t) :     x(t)dt = 0}?
                                               0

3. Доказать, что для ортогональной системы {xk } в гильбертовом пространстве следующие
условия
   P    равносильны:
a) Pk xk сильно сходится;
б) k kxk k сходится.




                                               17

Страницы