Функциональный анализ. Чеботарев А.Ю. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Вариант 7.
1. Найти норму линейного оператора A : l
2
→ l
2
, Ax = (x
1
, 2x
2
, 3x
3
, ...).
2. Пусть A, B : E → E – линейные операторы, D(A) = D(B) = E, AB = BA. Доказать, что
если B непрерывно обратим, A, B ∈ L(E), то kABk ≤
kAk
kB
−1
k
.
3. Существует ли оператор A
−1
, если A : C[0, 1] → C
2
[0, 1], Ax(t) =
R
t
0
e
−|s−t|
x(t)ds?
Вариант 8.
1. Найти норму линейного оператора A : L
2
(0, 2π) → L
2
(0, 2π), Ax(t) =
R
2π
0
sin(t + s)x(s)ds
2. Найти решение операторного уравнения
x(t) + λAx(t) = y(t),
где λ ∈ R, y ∈ C[0, 2π] заданы, оператор A определен в первом задании.
3. Пусть A : E → F – линейный оператор. Доказать, что его замкнутость равносильна
условию, что D(A) в норме ||| x |||= kxk
E
+ kAxk
F
является банаховым пространством.
Вариант 9.
1. Найти норму линейного оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = t
R
t
0
x(τ)
1−τ
dτ.
2. Если ker A – подпро странство в E, A : E → F – линейный оператор, вытекает ли отсюда,
что A – ограниченный оператор?
3. Сходится ли последовательность операторов A
n
x : C[0, 1] → C[0, 1], A
n
x(t) =
R
t
0
[
P
n
0
τ
k
k!
]x(τ)dτ, n ∈ N к оператору Ax(t) =
R
t
0
e
τ
x(τ)dτ?
Вариант 10.
1. Найти норму линейного оператора A : C[−1, 1] → C[−1, 1], Ax(t) =
1
2
(x(t) − x(−t)).
2. Пусть A, A
−1
∈ L(E) и k = kAk · kA
−1
k – число обусловленно сти оператора A. Получить
оценку относительной погрешности решения уравнения
Ax = y:
1
k
kAx − yk
kyk
≤
kx − xk
kxk
≤ k
kAx − yk
kyk
.
3. Пусть A : E → E – линейный оператор и существует последовательность
kx
n
k = 1, Ax
n
→ 0 при n → ∞. Доказать, что A не может быть непрерывно обрати-
мым.
20
   Вариант 7.
1. Найти норму линейного оператора A : l2 → l2 , Ax = (x1 , 2x2 , 3x3 , ...).
2. Пусть A, B : E → E – линейные операторы, D(A) = D(B) = E, AB = BA. Доказать, что
если B непрерывно обратим, A, B ∈ L(E), то kABk ≤ kBkAk     −1 k .
                                                                        Rt
3. Существует ли оператор A−1 , если A : C[0, 1] → C 2 [0, 1], Ax(t) = 0 e−|s−t| x(t)ds?

   Вариант 8.
                                                                       R 2π
1. Найти норму линейного оператора A : L2 (0, 2π) → L2 (0, 2π), Ax(t) = 0 sin(t + s)x(s)ds
2. Найти решение операторного уравнения
                                   x(t) + λAx(t) = y(t),
где λ ∈ R, y ∈ C[0, 2π] заданы, оператор A определен в первом задании.
3. Пусть A : E → F – линейный оператор. Доказать, что его замкнутость равносильна
условию, что D(A) в норме ||| x |||= kxkE + kAxkF является банаховым пространством.

     Вариант 9.
                                                                   Rt )
1. Найти норму линейного оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = t 0 x(τ
                                                                      1−τ
                                                                          dτ .
2. Если ker A – подпространство в E, A : E → F – линейный оператор, вытекает ли отсюда,
что A – ограниченный оператор?
3. Сходится ли последовательность операторов An x : C[0, 1] → C[0, 1], An x(t) =
R t Pn τ k                                      Rt τ
 0
   [   0 k!
            ]x(τ )dτ, n ∈ N к оператору Ax(t) =  0
                                                   e x(τ )dτ ?

   Вариант 10.
1. Найти норму линейного оператора A : C[−1, 1] → C[−1, 1], Ax(t) = 21 (x(t) − x(−t)).
2. Пусть A, A−1 ∈ L(E) и k = kAk · kA−1 k – число обусловленности оператора A. Получить
оценку относительной погрешности решения уравнения
Ax = y:
                          1 kAx − yk     kx − xk     kAx − yk
                                     ≤           ≤k           .
                          k kyk            kxk         kyk

3. Пусть A : E → E – линейный оператор и существует последовательность
kxn k = 1, Axn → 0 при n → ∞. Доказать, что A не может быть непрерывно обрати-
мым.




                                            20

Страницы