Решение задач по теоретической механике. Ч.3. Динамика. Чеботарев А.С - 29 стр.

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ВГУ | Воронеж

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29
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɜɫɟ ɜɧɟɲɧɢɟ ɫɢɥɵ ɥɢɛɨ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ, ɥɢɛɨ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬ ɨɫɶ ɜɪɚɳɟɧɢɹ
z, ɬɨ ɫɭɦɦɚ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɜɫɟɯ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ z ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ:
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ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɫɥɭɱɚɣ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɦɨɦɟɧɬɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
ɫɢɫɬɟɦɵ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɵɯ ɬɨɱɟɤ. ȼɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
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ɩɟɪɜɨɦ ɢ ɜɨ ɜɬɨɪɨɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɝɪɭɡɨɜ. Ɍɚɤ ɤɚɤ
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Ɉɫɬɚɟɬɫɹ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ z. Ɍɚɤ
ɤɚɤ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɤɨɧɭɫɚ ɢ ɞɜɭɯ ɝɪɭɡɨɜ, ɬɨ ɦɨɦɟɧɬ
ɢɧɟɪɰɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɪɚɜɟɧ ɫɭɦɦɟ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɢɧɟɪɰɢɢ ɤɨɧɭɫɚ ɢ ɝɪɭɡɨɜ.
Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɤɨɧɭɫɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ z ɪɚɜɟɧ
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ɋɱɢɬɚɹ ɝɪɭɡɵ ɬɨɱɟɱɧɵɦɢ ɦɚɫɫɚɦɢ, ɢɦɟɟɦ ɞɥɹ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ
ɩɨɥɨɠɟɧɢɣ ɝɪɭɡɨɜ
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ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɧɚɣɞɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɩɨɥɭɱɢɦ
12
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§10. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ
Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
T
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1
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Ⱦɥɹ ɫɢɫɬɟɦ, ɫɨɜɟɪɲɚɸɳɢɯ ɫɥɨɠɧɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ, ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ Ʉɺɧɢɝɚ
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– ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɟɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ
ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨ ɞɜɢɠɭɳɟɣɫɹ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫ ɧɚɱɚɥɨɦ ɜ
ɰɟɧɬɪɟ ɢɧɟɪɰɢɢ. (Ɂɞɟɫɶ ɢ ɞɚɥɟɟ ɩɨɞ ɰɟɧɬɪɨɦ ɢɧɟɪɰɢɢ ɩɨɧɢɦɚɟɦ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ).
Ⱦɥɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ, ɞɜɢɠɭɳɟɝɨɫɹ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨ,
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɜɫɟ ɜɧɟɲɧɢɟ ɫɢɥɵ ɥɢɛɨ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ, ɥɢɛɨ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬ ɨɫɶ ɜɪɚɳɟɧɢɹ
z, ɬɨ ɫɭɦɦɚ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɜɫɟɯ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ z ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ:
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                                       dLZ
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     mom Z ( F ke ) 0 . Ɍɨ ɟɫɬɶ
                                         dt
                                            0 ɢ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, L1Z L2Z . ɂɬɚɤ,

ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɫɥɭɱɚɣ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɦɨɦɟɧɬɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
ɫɢɫɬɟɦɵ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɵɯ ɬɨɱɟɤ. ȼɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɮɨɪɦɭɥɨɣ LZ I Z Z ,
ɡɚɩɢɲɟɦ:
L1Z I Z1 Z1 , L2Z I Z2Z2 , ɝɞɟ I Z1 , I Z2 – ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɦɨɦɟɧɬɵ ɢɧɟɪɰɢɢ ɜ
                                                            1   2      1   1
ɩɟɪɜɨɦ ɢ ɜɨ ɜɬɨɪɨɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɝɪɭɡɨɜ. Ɍɚɤ ɤɚɤ L Z L Z ɢ LZ I Z Z1 ,
                    1                  I Z1
L2Z   I Z2Z2 , ɬɨ I Z Z1   ˜I Z2Z 2 , ɨɬɤɭɞɚ Z 2
                                            Z1 .
                                       I Z2
    Ɉɫɬɚɟɬɫɹ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ z. Ɍɚɤ
ɤɚɤ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɤɨɧɭɫɚ ɢ ɞɜɭɯ ɝɪɭɡɨɜ, ɬɨ ɦɨɦɟɧɬ
ɢɧɟɪɰɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɪɚɜɟɧ ɫɭɦɦɟ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɢɧɟɪɰɢɢ ɤɨɧɭɫɚ ɢ ɝɪɭɡɨɜ.
                                                           3 P 2
    Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɤɨɧɭɫɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ z ɪɚɜɟɧ             r .
                                                         10 g
    ɋɱɢɬɚɹ ɝɪɭɡɵ ɬɨɱɟɱɧɵɦɢ ɦɚɫɫɚɦɢ, ɢɦɟɟɦ ɞɥɹ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ
ɩɨɥɨɠɟɧɢɣ ɝɪɭɡɨɜ
                            2
          3 P 2     P §r·     16 P 2             3P 2       P     4P 2
    I Z1      r 2    ¨ ¸          r ,      IZ2       r  2 r2       r.
         10 g      4g © 3 ¹   45 g               10 g       4g    5g
                                                     4
    ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɧɚɣɞɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɩɨɥɭɱɢɦ Z 2          Z1 .
                                                     9


                  §10. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ

    Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
           n
              m v2
    T ¦ k k .
          k 1   2
    Ⱦɥɹ ɫɢɫɬɟɦ, ɫɨɜɟɪɲɚɸɳɢɯ ɫɥɨɠɧɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ, ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ Ʉɺɧɢɝɚ
          Mv C2
    T             Tc,
             2
ɝɞɟ T c – ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɟɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ
ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨ ɞɜɢɠɭɳɟɣɫɹ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫ ɧɚɱɚɥɨɦ ɜ
ɰɟɧɬɪɟ ɢɧɟɪɰɢɢ. (Ɂɞɟɫɶ ɢ ɞɚɥɟɟ ɩɨɞ ɰɟɧɬɪɨɦ ɢɧɟɪɰɢɢ ɩɨɧɢɦɚɟɦ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ).
    Ⱦɥɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ, ɞɜɢɠɭɳɟɝɨɫɹ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨ,


                                            29

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