ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ω
0
x = γ(ξ, t), ξ ∈ ω
0
, t ∈ (0, T )
T =
∂x
∂ξ
= x − ξ
T = I +
∂
∂ξ
.
T
|dx|
2
= |dξ|
2
+ dξ ·(T
∗
T − I) hdξi
E =
1
2
(T
∗
T − I) ,
E =
1
2
µ
∂
∂ξ
+
∂
∗
∂ξ
¶
+
1
2
∂
∗
∂ξ
∂
∂ξ
.
d = kT − Ik
d
2
d
2
P = λ tr E · I + 2µ · E.
Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä 23
4.5 Òåíçîð äåôîðìàöèé. Ëèíåéíàÿ ìîäåëü óïðóãîãî òåëà
Äåôîðìàöèåé îáúåìà ω0 ñïëîøíîé ñðåäû íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå ñðåäû
è ñâÿçàííîå ñ íèì îòîáðàæåíèå x = γ(ξ, t), ξ ∈ ω0 , t ∈ (0, T ), ïðè êîòîðîì ìå-
íÿþòñÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè. Àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå äåôîðìàöèè
â ìàëîé îêðåñòíîñòè ÷àñòèöû ìîæíî äàòü ñ ïîìîùüþ òåíçîðà äèñòîðñèè
∂x
(èñêàæåíèÿ) T = . Åñëè îïðåäåëèòü âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ w = x − ξ , òî
∂ξ
∂w
T =I+ . (4.5.1)
∂ξ
Îòìåòèì, ÷òî èç (2.2.5) âûòåêàåò íåâûðîæäåííîñòü òåíçîðà T . Â ñèëó ñîîòíî-
øåíèÿ
2 2
|dx| = |dξ| + dξ · (T ∗ T − I) hdξi
äëÿ îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé óäîáíî ââåñòè òàêæå òåíçîð
1 ∗
E= (T T − I) , (4.5.2)
2
íàçûâàåìûé òåíçîðîì äåôîðìàöèé â ôîðìå Ãðèíà-Ëàãðàíæà. Ïðè ýòîì
èç (4.5.1) âûòåêàåò ðàâåíñòâî
µ ¶
1 ∂ w ∂ w∗ 1 ∂ w∗ ∂ w
E= + + . (4.5.3)
2 ∂ξ ∂ξ 2 ∂ξ ∂ξ
 ðàìêàõ ëèíåéíîé òåîðèè, ïðè óñëîâèè ìàëîñòè âåëè÷èíû d = kT − Ik, â
(4.5.3) îòáðàñûâàåòñÿ ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, èìåþùåå ïîðÿäîê d2 . Êðîìå ýòîãî,
â ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè ÷àñòî ïðåíåáðåãàþò âëèÿíèåì òåìïåðàòóðû íà
íàïðÿæåíèÿ, à õàðàêòåðèñòèêè ñïëîøíîé ñðåäû, ðàçëè÷àþùèåñÿ íà âåëè÷èíû
ïîðÿäêà d2 è âûøå, îòîæäåñòâëÿþòñÿ. Ñïëîøíàÿ ñðåäà, îïèñûâàåìàÿ óðàâíå-
íèÿìè (3.1.2), (3.2.3) è (3.3.3) íàçûâàåòñÿ óïðóãèì òåëîì, åñëè íàïðÿæåíèÿ
îïðåäåëÿþòñÿ äåôîðìàöèÿìè â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Ãóêà (ñðåäà èçîòðîï-
íà):
P = λ tr E · I + 2µ · E. (4.5.4)
