ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
R
n
R
n
r > 0 r
Φ R
n
Φ : R
n
× R
n
× . . . × R
n
→ R
1
,
Φ(a
1
, a
2
, . . . , a
r
) a
k
R
n
Φ
n
r
r
n
r
r = 1
R
n
Φ = a ·p, p ∈ R
n
R
n
R
n
r = 2
Φ(a, b) = a · L hbi
Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä 3
1 Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ìåõàíèêè ñïëîøíûõ
ñðåä
1.1 Òåíçîðû
Ãåîìåòðè÷åñêîé îñíîâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ôèçè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ ÿâëÿþòñÿ àôôèííûå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà Rn . Îòîáðàæåíèÿ è
èõ õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëåííûå íà Rn , ïîëó÷àþò ïðè ýòîì îïðåäåëåííîå
ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå.
Îïðåäåëåíèå 1.1.1 Òåíçîðîì ðàíãà r > 0 íàçûâàåòñÿ r-ëèíåéíàÿ ôîðìà
Φ íà ïðîñòðàíñòâå Rn , ò.å. îòîáðàæåíèå âèäà:
Φ : Rn × Rn × . . . × Rn → R1 ,
ëèíåéíîå ïî êàæäîìó àðãóìåíòó.
×èñëà Φ(a1 , a2 , . . . , ar ), ãäå ak îäèí èç âåêòîðîâ áàçèñà ïðîñòðàíñòâà Rn ,
íàçûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè òåíçîðà Φ
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî òåíçîð êàê àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò ïîëíîñòüþ îïðå-
äåëÿåòñÿ çàäàíèåì íàáîðà èç nr ñâîèõ êîìïîíåíò â êàêîì-ëèáî áàçèñå, à ìíî-
æåñòâî òåíçîðîâ ðàíãà r ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì ðàç-
ìåðíîñòè nr . Äëÿ ïðèëîæåíèé âàæíóþ ðîëü èãðàþò ñëåäóþùèå ÷àñòíûå ñëó-
÷àè, ïîçâîëÿþùèå äàòü ïîíÿòèþ òåíçîðà íàãëÿäíóþ èíòåðïðåòàöèþ.
1 r = 1. Òåíçîð ïåðâîãî ðàíãà ýòî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàí-
ñòâå Rn . Â ñèëó òåîðåìû Ðèññà ñîîòíîøåíèå Φ = a · p, p ∈ Rn óñòàíàâëè-
âàåò èçîìîðôèçì ìåæäó Rn è ïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ.
 ýòîì ñìûñëå óäîáíî îòîæäåñòâëÿòü âåêòîðà èç Rn è òåíçîðû ðàíãà 1.
2 r = 2. Òåíçîð âòîðîãî ðàíãà ýòî áèëèíåéíàÿ ôîðìà. Ñîîòíîøåíèå
Φ(a, b) = a · L hbi (1.1.1)
