Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

L(R
n
)
L : R
n
→ R
n
{e
i
}
n
1
T
ij
= e
i
T he
j
i
T
n = 3
det(T − λT ) = −λ
3
+ J
1
λ
2
+ J
2
λ + J
3
,
T J
1
= tr T =
P
T
ii
T
T
3
= det T
J
2
=
1
2
(tr T
2
− (tr T )
2
)
kT k = (max λ(T
∗
T ))
1/2
λ(A)
A
tr
A : B = tr(A
∗
B) = tr(B
∗
A) A
∗
A A
∗
haib = aA hbi
e
i
· e
j
= δ
ij
A : B = A
ij
B
ij
1 n
g(a, b) = a · b.
4                                                            Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä

      óñòàíàâëèâàåò èçîìîðôèçì ìåæäó ïðîñòðàíñòâîì L(Rn ) ëèíåéíûõ îïå-
      ðàòîðîâ è ïðîñòðàíñòâîì áèëèíåéíûõ ôîðì. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì, ãî-
      âîðÿ î òåíçîðàõ ðàíãà 2, áóäåì èìåòü â âèäó ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ
      L : Rn → Rn , ñâÿçàííûå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé áèëèíåéíîé ôîðìîé ôîðìó-
      ëîé (1.1.1).

    Òåíçîð ðàíãà 2 êàê ëèíåéíûé îïåðàòîð îïðåäåëÿåòñÿ â äàííîì áàçèñå {ei }n1
ìàòðèöåé ñâîèõ êîìïîíåíò Tij = ei T hej i. Îïðåäåëèòåëü äàííîé ìàòðèöû íà-
çûâàåòñÿ äåòåðìèíàíòîì òåíçîðà. Â äðóãîì áàçèñå ýòîò æå òåíçîð T áóäåò
ïðåäñòàâëåí äðóãîé ìàòðèöåé, íî äåòåðìèíàíò åãî íå èçìåíèòñÿ. Êîýôôèöè-
åíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà, êîòîðûé ïðè n = 3 èìååò âèä

                     det(T − λT ) = −λ3 + J1 λ2 + J2 λ + J3 ,                (1.1.2)

íå èçìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó è íàçûâàþòñÿ èí-
                                                P
âàðèàíòàìè òåíçîðà T . Ïðè ýòîì J1 = tr T =       Tii  ñëåä òåíçîðà T ,
T3 = det T . Äëÿ âòîðîãî èíâàðèàíòà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
                                    1
                             J2 =     (tr T 2 − (tr T )2 )                   (1.1.3)
                                    2
Îòìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî òåíçîðîâ ðàíãà 2 ìîæíî ñäåëàòü íîðìèðîâàííûì,
åñëè ïîëîæèòü kT k = (max λ(T ∗ T ))1/2 , ãäå λ(A)  ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå òåí-
çîðà A.

    Ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè tr ââîäèòñÿ ñâåðòêà èëè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òåí-
çîðîâ ðàíãà 2 êàê èíâàðèàíòíàÿ îïåðàöèÿ A : B = tr(A∗ B) = tr(B ∗ A), ãäå A∗
 îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ê A, òî åñòü A∗ hai b = aA hbi. Â äåêàðòîâîì áàçèñå
ei · ej = δij ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî A : B = Aij Bij . Çäåñü è äàëåå, åñëè íå
îãîâîðåíî îñîáî, ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå îò
1 äî n.
    Ïðèìåðû:

/1/ Ôóíäàìåíòàëüíûé èëè åäèíè÷íûé òåíçîð îïðåäåëÿåòñÿ êàê òîæäåñòâåí-
      íûé îïåðàòîð, èìåþùèé áèëèíåéíóþ ôîðìó g(a, b) = a · b.

Страницы