Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

T
x
T
x
³³
∂W
i
∂x
j
´´
T
x
div T · = div (T
∗
h i) ∀ ∈ R
n
.
(div T )
i
=
∂T
ij
∂x
j
∆ϕ = div ∇ϕ, ∆ = div
µ
∂
∂x
.
div
¡
∂
∂x
¢
∗
=
~
∇(div ) ∆ϕ =
n
P
1
∂
2
ϕ
∂x
2
i
, (∆ )
i
= ∆W
i
R
m
Z
Ω
f
∂ϕ
∂x
i
dx = −
Z
Ω
ϕ
∂f
∂x
i
dx +
Z
∂Ω
fϕn
i
dS,
= (n
1
, . . . , n
m
)
Ω
Z
Ω
div dx =
Z
∂Ω
( · )dS,
Z
Ω
div T dx =
Z
∂Ω
T h idS.
6                                                                Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä

Òåíçîð Tx íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíûì òåíçîðîì äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ W. Â äå-
                                                         ³³     ´´
                                                            ∂Wi
êàðòîâîì áàçèñå ìàòðèöåé òåíçîðà Tx ñëóæèò ìàòðèöà ßêîáè    ∂xj    âåêòîð
 ôóíêöèè W. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ñëåä òåíçîðà Tx ñîâïàäàåò ñ äèâåðãåíöèåé
W.
     Äëÿ òåíçîðíûõ ïîëåé äèâåðãåíöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîðíîå ïîëå, òàêîå,
÷òî
                        div T · a = div (T ∗ hai) ∀a ∈ Rn .
                               ∂Tij
 äåêàðòîâîì áàçèñå (div T )i =     .
                                ∂xj
     Îïåðàòîð Ëàïëàñà äëÿ ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ ñëå-
äóþùèì îáðàçîì
                                                        µ       ¶
                                                            ∂W
                       ∆ϕ = div ∇ϕ, ∆W = div                     .               (1.2.4)
                                                             ∂x
                             ¡ ∂ W ¢∗
Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî div                 ~
                                        = ∇(div W), à â äåêàðòîâîì áàçèñå ∆ϕ =
                               ∂x
P
n 2
  ∂ ϕ
  ∂x2
      , (∆W)i = ∆Wi .
      i
1
     Èíòåãðàëüíûå òåîðåìû

    a) Ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â Rm
                       Z                  Z                  Z
                             ∂ϕ                 ∂f
                           f     dx = −       ϕ     dx +         f ϕni dS,       (1.2.5)
                             ∂xi                ∂xi
                       Ω                  Ω                 ∂Ω

       ãäå n = (n1 , . . . , nm )  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ãðàíèöå
       îáëàñòè Ω.

    b) Ôîðìóëà Ãàóññà-Îñòðîãðàäñêîãî äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ
                               Z                 Z
                                   div Wdx =          (W · n)dS,                 (1.2.6)
                               Ω               ∂Ω

       è äëÿ òåíçîðíîãî ïîëÿ
                               Z                 Z
                                    div T dx =        T hni dS.                  (1.2.7)
                               Ω                 ∂Ω

Страницы