Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

T
0
= T −
1
n
(tr T )I T
ε(a, b, c) = a ·(b × c)
R
3
ε
123
= ε(e
1
, e
2
, e
3
) > 0.
Ω ⊂ R
n
, n ≥ 1
R R
m
, m ≥ 2 L(R
m
)
{
i
}, i = 1, . . . , n
ϕ
grad ϕ =
~
∇ϕ =
∂ϕ
∂x
i
i
=
µ
∂ϕ
∂x
1
, . . . ,
∂ϕ
∂x
n
.
div =
~
∇ · =
∂W
i
∂x
i
.
: R
3
→ R
3
rot =
~
∇ · = ε
ijk
∂W
k
∂x
j
i
,
ε
ijk
rot , ∇ϕ div
x T
x
=
∂W
∂x
(x + h) − (x) = T
x
hhi + o(|h|), |h| → 0
Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä                                                           5

/2/ òåíçîð T 0 = T − n1 (tr T )I íàçûâàåòñÿ äåâèàòîðîì òåíçîðà T . Îòìåòèì,
     ÷òî ñëåä äåâèàòîðà ðàâåí íóëþ.

/3/ Òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà ε(a, b, c) = a · (b × c) íàçûâàåòñÿ äèñêðèìèíàíò-
     íûì. Äàííûé òåíçîð îïðåäåëÿåò, íàïðèìåð, îðèåíòàöèþ áàçèñà â ïðî-
     ñòðàíñòâå R3 . Áàçèñ íàçûâàåòñÿ ïðàâûì, åñëè ε123 = ε(e1 , e2 , e3 ) > 0.


1.2 Òåíçîðíûå è âåêòîðíûå ïîëÿ
Ñêàëÿðíûì (ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðíûì èëè òåíçîðíûì) ïîëåì íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå Ω ⊂ Rn , n ≥ 1 è ïðèíèìàþùàÿ çíà-
÷åíèÿ â ïðîñòðàíñòâå R (ñîîòâåòñòâåííî â Rm , m ≥ 2 èëè â L(Rm )).
   Â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ áàçèñîì {ei }, i = 1, . . . , n ñïðàâåäëèâû
ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ.
   Ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ.
                                           µ                    ¶
                           ~ = ∂ϕ ei =
                  grad ϕ = ∇ϕ
                                                ∂ϕ
                                                    ,...,
                                                          ∂ϕ
                                                                    .      (1.2.1)
                               ∂xi              ∂x1       ∂xn

   Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ W.

                                    ~ · W = ∂Wi .
                            div W = ∇                                      (1.2.2)
                                            ∂xi

   Âèõðü (ðîòîð) âåêòîðíîãî ïîëÿ W : R3 → R3 .

                                 ~ · W = εijk ∂Wk ei ,
                         rot W = ∇                                         (1.2.3)
                                              ∂xj

ãäå εijk  êîìïîíåíòû äèñêðèìèíàíòíîãî òåíçîðà.
   Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî âåëè÷èíû rot W, ∇ϕ è div W íå
çàâèñÿò îò âûáîðà áàçèñà è ÷òî ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå ýòèõ
îïåðàöèé.

   Îïðåäåëåíèå 1.2.1 Âåêòîðíîå ïîëå W íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì
                                          ∂W
â òî÷êå x, åñëè ñóùåñòâóåò òåíçîð Tx =     ∂x   òàêîé, ÷òî

               W(x + h) − W(x) = Tx hhi + o(|h|), ïðè |h| → 0

Страницы