Составители:
72
7.1.1. Метод Эйлера
Этот простейший численный метод заключается в разложении искомой
функции )(
x
y в ряд Тейлора в окрестностях узлов сетки ,,...,,,
210 n
xxxx в
котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более
высоких порядков. Запишем это разложение в окрестности узла
i
x :
)()()()(
2
hOhxyxyhxy
iii
+
′
+=+
Т.к. hxx
ii
+=
+1
и ),( yxfy =
′
, то, отбрасывая )(
2
hO , получаем:
hxyxfxyxy
iiii
))(,()()(
1
+
≈
+
.
Введя обозначение
)(
ii
xyy =
, окончательно получаем формулу метода Эйлера,
позволяющую по значению искомой функции
i
y в точке
i
x найти значение ее
1+i
y в следующем узле
1+i
x :
hyxfyy
iiii
),(
1
+=
+
.
Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок
2
h .
Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член )(
2
hO .
7.1.2.
Модифицированный метод Эйлера
Этот метод имеет лучший порядок точности, и формулу для него
получают, оставляя в разложении функции )(
x
y в ряд Тейлора в окрестностях
узлов слагаемые, содержащие вторую производную:
)(
2
3
2
1
hOy
h
yhyy
iiii
+
′′
⋅+
′
⋅+=
+
. (1)
Затем аппроксимируют вторую производную с помощью отношения
конечных разностей:
)(
1
hO
h
yy
y
ii
i
+
′
−
′
=
′′
+
(2)
Подставляя выражение (2) вместо второй производной в (1), получают:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
