Составители:
74
Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок
5
h .
Отметим некоторые существенные моменты применения указанных
методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка ),( yxfy =
′
с начальным условием
00
)( yxy
=
.
Заметим, что погрешность вычислений с каждым следующим шагом
может иметь тенденцию к накоплению. Отсюда сразу следует, что лучше
применять для расчетов методы, дающие более точный результат на каждой
итерации. Из рассмотренных выше методов лучшим является метод Рунге-
Кутта, ошибка в котором пропорциональна шагу в пятой степени. А так как шаг
выбирается обычно маленьким, то и ошибка мала.
Если метод решения выбран, то следующая задача – это выбор шага h . И
тут возникает следующая проблема. Допустим, нужно получить значения
искомой функции на отрезке
[]
ba,, где bxax
n
=
=
,
0
. С одной стороны, шаг
нужно взять маленьким, чтобы ошибка каждого шага была небольшой. С
другой стороны, при этом возрастет число шагов вычислений, что приводит в
свою очередь к накоплению ошибки. Так что шаг в каждом случае следует
выбирать некоторым оптимальным образом.
7.1.4.
Пример 1
Решим предлагаемую ниже задачу Коши методом Эйлера с заданным
шагом на отрезке
[]
1 ,0:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≤≤
=
+=
′
0.1 ,10
1)0(
)(2
2
hx
y
yxy
Для данной задачи можно указать аналитическое выражение для функции
решения. Легко проверить, что это будет функция 5.05.1)(
22
−−−= xxexy
x
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
