ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Свободные колебания материальной точки.
Пусть на материальную точку действует сила, прямо пропорциональная
отклонению точки от положения равновесия и направленная в сторону, про-
тивоположную этому отклонению (рис.1).
Восстанавливающей называется сила, стремящаяся вернуть точку в по-
ложение равновесия:
MOcF −=
,
где
с – коэффициент пропорциональности.
Направим ось х по линии действия силы, выбрав начало отсчета в по-
ложении равновесия точки. Проекция восстанавливающей силы на ось х
равна
.cxF
x
−=
В начальный момент при t =0, координата точки x = х
0
, начальная
скорость
0
хx
&&
=
.
Дифференциальное уравнение движения
материальной точки под действием восстанавли-
вающей силы имеет вид
cx
d
t
xd
m −=
2
2
.
Разделим обе части этого уравнения на m,
обозначим
2
k
m
c
=
, в результате получим дифференциальное уравнение
движения точки под действием восстанавливающей силы:
0
2
2
2
=+ xk
d
t
xd
, (1)
Уравнение (1) – однородное линейное уравнение второго порядка. Для
его решения запишем соответствующее характеристическое уравнение
0
22
=− kr
, корни которого
.
2,1
kir
±
=
. Так как корни характеристического
уравнения r
1
и r
2
являются мнимыми, то решение уравнения (3.1) записыва-
ется в виде
.sincos
21
ktCktCx
+
=
(2)
Это решение можно представить в виде:
).sin(
α
+
= ktаx
(3)
Распишем синус суммы двух углов в уравнении (3) и получим
ktaktаx cossinsincos
α
α
+
=
,
х
М
О
х
F
Рис.1
