Колебания материальной точки. Черняховская Л.Б - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СамГТУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Вынужденные колебания с учетом силы сопротивления
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки, на которую
действуют три силы: восстанавливающая сила, сила сопротивления, проек-
ции которых на ось х равны
cxF
x
−
=
,
dt
dx
VR
xx
μμ
−=−=
, и возмущающая
сила, изменяющаяся по гармоническому закону
ptHР
х
sin
=
. Дифференци-
альное уравнение движения точки имеет вид
ptH
dt
dx
cx
d
t
xd
m sin
2
2
+−−=
μ
Заменим
x
d
t
dx
x
d
t
xd
&&&
== ,
2
2
, обозначим
m
H
h
m
c
k
m
n === ,,2
2
μ
, получим
pthxkxnx sin2
2
=++
&&&
, (33)
Уравнение (33) является неоднородным линейным уравнением, его ре-
шение дается формулой х = х
1
+ х
2
, в которой х
1
– общее решение од-
нородного дифференциального уравнения
02
2
=++ xkxnx
&&&
, х
2
– частное
решение уравнения (33).
При k
>
n общее решение однородного уравнения
)sincos(
22
2
22
11
tnkCtnkCex
nt
−+−=
−
(34)
представляет собой уравнение затухающих колебаний.
Частное решение уравнения (33) находим в форме правой части:
)sin(
2
γ
+
= ptAx
(35)
Уравнение (35) является уравнением вынужденных колебаний матери-
альной точки, происходящих с частотой возмущающей силы р. Определим
амплитуду А и начальную фазу
γ вынужденных колебаний, для чего найдем
первую и вторую производные от х
2
по времени и подставим их значения в
уравнение (33):
)cos(
2
γ
+
ptpAx
&
,
)sin(
2
2
γ
+−= ptApx
&&
.
pthptAkptpAnptAp sin)sin()cos(2)sin(
22
=+++++−
γγγ
. (36)
Положим
ϕ
γ
=
+
p
t
, тогда
γ
ϕ
−
=
pt
, следовательно,
γ
ϕ
γ
ϕ
γ
ϕ
sincoscossin)sin(sin
−
=
−
=pt
.
Подставим новые переменные в уравнение (36):

Страницы