Элементы теории двойственности. Чернышова Г.Д - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
сурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли
от реализации этой продукции. Экономический смысл двойственной пере-
менной состоит в том, что цены ресурсов
m
yy ,...,
1
являются внутренними,
так как они определяются непосредственно в результате решения задачи,
поэтому их часто называют оценками ресурсов.
Вторая теорема двойственности позволяет обнаружить свойства двой-
ственных оценок, связанные с дефицитом сырья.
В соответствии со второй теоремой двойственности план
),...,(
**
1
*
n
xxX = исходной задачи и план
(
)
**
1
*
,...,
m
yyY = двойственной задачи
являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда, когда
выполняются равенства:
(
)
( )
ê
ê
ë
é
=-
=-
T
T
T
.0
0
**
**
xCyA
ybAx
Если
(
)
i
i
bAx <
*
, то по второй теореме двойственности 0
*
=
i
y , то есть сы-
рье лишнее и оценка сырья равна 0. Таким образом, положительную двойствен-
ную оценку имеют лишь те виды сырья, которые полностью используются при
оптимальном плане производства изделий. Поэтому двойственные оценки оп-
ределяют дефицитность сырья. Более того, величина данной двойственной
оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой
функции исходной задачи при увеличении количества сырья соответствующего
вида на одну единицу. Данный вывод можно сделать из следующей теоремы.
Теорема. Компоненты оптимального решения двойственной задачи
равны значениям частных производных линейной функции ),...,(
1 m
bbf по
соответствующим аргументам, т. е.
.
*
=
j
j
y
S
f
Доказательство:
(
)
(
)
()
bfS
bfSbf
S
f
T
Ñ=
-
+
=
®
e
e
e
0
lim
.
Из первой теоремы двойственности следует равенство
(
)
**
== ybxCbf
TT
. 
сурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли
от реализации этой продукции. Экономический смысл двойственной пере-
менной состоит в том, что цены ресурсов y1 ,..., y m являются внутренними,
так как они определяются непосредственно в результате решения задачи,
поэтому их часто называют оценками ресурсов.
     Вторая теорема двойственности позволяет обнаружить свойства двой-
ственных оценок, связанные с дефицитом сырья.
     В соответствии со второй теоремой двойственности план
X * � ( x1* ,..., x n* ) исходной задачи и план Y * � � y1* ,..., y m* � двойственной задачи
являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда, когда
выполняются равенства:
                                     ��Ax * � b �� y * � 0
                                     �
                                     ���A � y * � C � x * � 0.
                                                     �



     Если �Ax * �i � bi , то по второй теореме двойственности yi* � 0 , то есть сы-
рье лишнее и оценка сырья равна 0. Таким образом, положительную двойствен-
ную оценку имеют лишь те виды сырья, которые полностью используются при
оптимальном плане производства изделий. Поэтому двойственные оценки оп-
ределяют дефицитность сырья. Более того, величина данной двойственной
оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой
функции исходной задачи при увеличении количества сырья соответствующего
вида на одну единицу. Данный вывод можно сделать из следующей теоремы.
     Теорема. Компоненты оптимального решения двойственной задачи
равны значениям частных производных линейной функции f (b1 ,..., bm ) по
соответствующим аргументам, т. е.
                                           �f
                                                � y �j .
                                           �S j
     Доказательство:
                          �f         f �b � �S � � f �b �
                             � lim                        � S T �f �b � .
                          �S   � � 0         �
     Из первой теоремы двойственности следует равенство
                           f �b � � C T x � � b T y � .




                                               12

Страницы