Исследование линейных блочных кодов. Чингаева А.М. - 4 стр.

Обозначая p – вероятность одиночной ошибки в дискретном канале, а
 Pк – вероятность неверного декодирования кодовой комбинации,
найдём вероятность хотя бы одной ошибки в комбинации из n
элементов (событие, противоположное событию «ни одной ошибки»):
             Pк = 1 − (1 − p ) .
                              n
                                                           (8.2)
    При малых p из (8.2) получаем приближённую формулу:
           Pк ≈ np .                                 (8.3)

    2. Код с одной проверкой на чётность ( 9,8 )

      Теперь к 8 информационным разрядам добавляется девятый.
Общее число комбинаций равно N = 29 = 512 , из них K = 28 = 256 –
разрешённые, а остальные N − K = 256 – запрещённые. Девятый
символ – проверочный, он получается из 8 информационных
сложением разрядов по модулю 2:
                 b8 = b0 ⊕ b1 ⊕ b2 ⊕ b3 ⊕ b4 ⊕ b5 ⊕ b6 ⊕ b7 . (8.5)
      Из (8.5) видно, что проверочный разряд b8 равен нулю, если
среди информационных символов чётное число единиц, и единице –
если число единиц нечётное. Таким образом, в кодовой комбинации
число единиц всегда чётное. Следовательно, если в канале произойдёт
одна ошибка, то число единиц станет нечётным. Комбинации,
содержащие нечётное число единиц, являются запрещёнными, их
ровно половина. Появление на приёме запрещённой комбинации –
признак ошибки. Если в канале произойдут одновременно 2 ошибки в
одной кодовой комбинации, число единиц останется чётным, и такая
ситуация окажется незамеченной декодером, так же, как и появление 4,
6 или 8 (т.е. чётного числа) ошибок. Ошибки же нечётной кратности
(1, 3, 5, 7, 9) будут обнаружены.
      Вероятность необнаруженной ошибки ( Pно ) равна сумме
вероятностей того, что произойдут 2, 4, 6 или 8 ошибок. При n = 9
             Pно = C92 p 2 (1 − p ) + C94 p 4 (1 − p ) +
                                   7                 5

                                                           (8.6)
                 +C96 p 6 (1 − p ) + C98 p8 (1 − p ) .
                                   3


    При малых p , пренебрегая величинами порядка малости выше
второго, получаем
             Pно ≈ 36 p 2 .                          (8.7)


                                                                   5