Исследование линейных блочных кодов. Чингаева А.М. - 5 стр.

    3. Код Хемминга ( 7, 4 )

      Коды Хемминга получаются по следующему правилу: n = 2r − 1 ,
где n – общее число разрядов, r – число проверочных разрядов и n − r
– число информационных разрядов. Рассмотрим случай r = 3 .
      Из семи двоичных разрядов 4 информационных, следовательно,
число разрешённых комбинаций K = 24 = 16 . Общее число комби-
наций N = 27 = 128 , число запрещённых комбинаций N − K = 112 . Три
проверочных разряда получаются из информационных таким образом,
чтобы соблюдалось условие их линейной независимости. Например:
             b4 = b0 ⊕ b1 ⊕ b2 ,
             b5 = b1 ⊕ b2 ⊕ b3 ,                             (8.8)
             b6 = b0 ⊕ b2 ⊕ b3 .
      Таким образом, каждый из 7 символов участвует хотя бы в одной
проверке (символ b2 участвует в трёх проверках). Эти же равенства
(8.8) используются как проверочные при приёме кодовой комбинации.
Если в одном из разрядов содержится ошибка, то те равенства, в
которых он участвует, не соблюдаются. Так как равенств три, то
возможны 8 вариантов ситуаций. В ситуации, когда все равенства
выполняются, кодовая комбинация или принята безошибочно, или в
канале произошли ошибки, приведшие к новой разрешённой кодовой
комбинации, т.е. ошибка в кодовой комбинации не обнаружена. В
другом случае, в зависимости от того, какая из оставшихся семи
ситуаций имеет место в конкретном опыте, декодер определяет, какой
из семи элементов принят неверно. Например, если не выполняются
все три проверки, то это указывает на b2 , а если не выполняется только
одна проверка, например, b4 , то это указывает на то, что произошла
ошибка в самом проверочном символе, в данном случае это b4 .
      Таким образом, одиночные ошибки не только обнаруживаются,
но и могут быть исправлены путём замены ошибочного элемента на
противоположный.
      Двойные ошибки обнаруживаются, но не исправляются.
      Таким образом, код Хемминга может использоваться в двух
режимах: режиме исправления или режиме обнаружения ошибок.
      В режиме исправления ошибок исправляются все одиночные
ошибки в кодовой комбинации, следовательно, вероятность остаточ-
ной ошибки при декодировании равна вероятности того, что в кодовой
комбинации произойдёт более одной ошибки:
6