Исследование линейных блочных кодов. Чингаева А.М. - 7 стр.

                          номер             0           1          2         3            4
                               0             b0           b1           b2    b3           b4
                               1             b5           b6           b7    b8           b9
                               2             b10          b11          b12   b13          b14
                               3             b15          b16          b17   b18          b19
                               4             b20          b21 b22            b23          b24
    Рис. 8.1. Схема построения кодовой комбинации матричного кода
     Матричный код, так же как и код Хемминга, может использо-
ваться в двух режимах: обнаружения и исправления.
     В режиме исправления матричный код ( 25,16 ) позволяет гаран-
тированно исправить 1 ошибку. Это делается следующим образом:
любая одиночная ошибка приводит к несоблюдению правила чётности
в некоторой i-й строке и j-м столбце, перекрестие i-й строки и j-го
столбца точно указывает на ошибочный элемент, который заменяется
на противоположный. Таким образом, вероятность остаточной ошибки
при декодировании равна вероятности появления в кодовой
комбинации двух и более ошибок:
           25                                       1
      Pк = ∑ C p (1 − p )                 = 1 − ∑ C25 p i (1 − p )
                                   7 −i                                            7 −i
                i
                25
                     i                             i
                                                                                          =
          i=2                                      i =0

        = 1 − P ( нет ош.) − P (1 ош.) =                                                        (8.13)
        = 1 − (1 − p ) − 25 p (1 − p ) .
                         25                         24


      При малых значениях p
                Pк ≈ 300 p 2 .                                                                  (8.14)
      В режиме обнаружения матричный код ( 25,16 ) позволяет гаран-
тированно обнаружить все ошибки нечётной кратности ( 1,3,5,..., 25 ), 2
ошибки, а также большинство сочетаний чётного числа ошибок.
    Вероятность необнаруженной ошибки можно оценить сверху
вероятностью того, что в принятой кодовой комбинации будет 4, 6, ...
ошибок.
                         12
                Pно < ∑ C252i p 2i (1 − p )
                                                        25 − 2 i
                                                                   .                            (8.15)
                         i=2

      Для малых p
                Pно < 12650 p 4 .                                                               (8.16)

8