При выборе вида функции ϕ(х) следует руководствоваться достаточным
условием сходимости, которое справедливо для непрерывных функций
ϕ(х),
имеющих непрерывную производную. Это условие формулируется следующим
образом: итерационный процесс обязательно сходится, если для всех значений
х отрезка [a,b] выполняется неравенство
|
ϕ′(x)|<1, x∈[a, b]. (16)
В соответствии с этим неравенством тангенс угла наклона кривой
ϕ(х) в
точках х
(к)
(рис.8a) не должен превышать величины , равной единице. При этом
принято различать три вида сходимости:
|
ϕ′ (х)| < 0,1 - хорошая сходимость;
0,1 < |ϕ′(x)| < 0,5 - удовлетворительная сходимость;
0,5< |
ϕ′(x)| <1 - плохая сходимость.
Пример 1
.
Методом простых итераций решить уравнение lgx-х
2
+3=0 c точностью ε
=0,001, принимая в качестве начального приближения х
(0)
= 2,0.
Из рассмотренных выше способов выражения функции
ϕ(х) выберем
следующий:
ϕ(х) =
3lg +x
, тогда ϕ′(x) = lge /2x*
3lg +x
Определим значения
ϕ′(x) в различных точках х:
ϕ′(2,0) = 0,06; ϕ′(1,8) = 0,067; ϕ′(1,6) = 0,076.
Здесь
ϕ′(x)<0,1, поэтому есть основание ожидать хорошую сходимость;
итерационная формула будет иметь вид
х
(к+1)
= √lg x
(к)
+3, к=0,1,…
На первой итерации имеем :
x
(0)
= 2,0; x
(1)
= √lg 2,0 +3; x
(1)
= 1,817;
|x
(1)
- x
(0)
| = 0,183; 0,183> 0,001.
На второй итерации получаем:
x
(2)
= 3817,1lg + ; x
(2)
= 1,8052;
|x
(2)
- x
(1)
| = |1,8052-1,817| = 0,0118; 0,0118 > 0,001.
На третьей итерации вычисляется следующее значение:
x
(3)
= 38052,1lg + ; x
(3)
= 1,8046;
|x
(3)
- x
(2)
| = |1,8046 – 1,8052| = 0,0006; 0,006 < 0,001.
Так как в соответствии с (11) точность достигнута, то корнем уравнения
будет являться значение ξ ≈ 1,8046.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
