||C||=√
< 1. (27)
c
ij
ji
2
1
3
1
3
==
∑∑
Это условие является достаточным для сходимости метода . Для его
выполнения необходимо , чтобы на этапе приведения к итерационной форме
(25) каждое уравнение системы решалось относительно той неизвестной
переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент. Поэтому
порядок расположения уравнений в системе имеет важное значение.
Стратегия метода простых итераций основана на последовательном
приближении к искомому решению системы, при этом каждое следующее
(k+1)-е приближение получается в результате подстановки в правую часть
преобразованной системы (25) приближения, полученного на предыдущей k -й
итерации, т. е.
х
(k+1)
= Cх
(k)
+ d. (28)
В качестве начального приближения обычно принимают вектор-столбец
свободных членов преобразованной системы: х
0
=d. Условие окончания
итерационного процесса для получения решения принимает вид
х
i
(к +1)
- x
i
(к)
≤
ε, i = 1,2,3, (29)
или max | х
i
(к+1)
- x
i
(к)
| ≤ ε, i=1,2,3. (30)
Пример.
Методом простых итераций с точностью
ε = 0,1 решить систему уравнений:
-7х
1
- 2х
2
+ х
3
= 1,
8x
1
+ 3x
2
+ 3x
3
= 2,
x
1
+ 6x
2
- x
3
= 3.
Для получения преобразованной системы уравнений необходимо сделать
допустимые преобразования над исходной системой, с тем чтобы диагональные
коэффициенты матрицы были максимальными по модулю. Для этого второе
уравнение сделаем первым и в качестве второго используем третье. Сложим
первое и второе уравнения исходной системы, получим третье: x
1
+x
2
+4x
3
=3.
Тогда в итерационной форме имеем систему
х
1
= - (3/8)х
2
- (3/8)х
3
+ 2/8
х
2
= -(1/6)х
1
+ (1/6)х
3
+ 3/6,
х
3
= -(1/4)х
1
– (1/4)х
2
+ 3/4.
Проверяем условие сходимости :
||С||=
=−+−++−+−+− )4/1()4/1()6/1()6/1()8/3()8/3(
=
576/266 < 1;
так как ||С|| < 1, то решение может быть получено методом простых итераций.
Результаты расчета представлены в табл.24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
